Bezpečnost

Jak najít determinant matice s písmeny. Řetězcová expanze determinantu

Pro determinanty čtvrtého a vyššího řádu se obvykle používají jiné výpočetní metody než použití hotových vzorců jako pro výpočet determinantů druhého a třetího řádu. Jednou z metod pro výpočet determinantů vyšších řádů je použití důsledků Laplaceovy věty (samotnou větu lze nalézt např. v knize A.G. Kuroshe „Course of Higher Algebra“). Tento důsledek nám umožňuje rozšířit determinant na prvky určitého řádku nebo sloupce. V tomto případě je výpočet determinantu n-tého řádu redukován na výpočet n determinantů (n-1) řádu. Proto se takové transformaci říká redukce řádu determinantu. Například výpočet determinantu čtvrtého řádu spočívá v nalezení čtyř determinantů třetího řádu.

Řekněme, že je nám dána čtvercová matice n-tého řádu, tzn. $A=\left(\begin(pole) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end(pole) \right)$. Determinant této matice lze vypočítat jejím rozšířením o řádek nebo sloupec.

Opravme nějaký řádek, jehož číslo je $i$. Potom lze determinant matice $A_(n\krát n)$ rozšířit přes vybraný i-tý řádek pomocí následujícího vzorce:

\začátek(rovnice) \Delta A=\součet\limity_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(rovnice)

$A_(ij)$ označuje algebraický doplněk prvku $a_(ij)$. Pro podrobné informace O tomto pojmu doporučuji podívat se na téma Algebraické doplňky a nezletilí. Zápis $a_(ij)$ označuje prvek matice nebo determinant umístěný na průsečíku i-tý řádek j-tý sloupec. Pro více kompletní informace Můžete se podívat na téma Matrix. Typy matic. Základní pojmy.

Řekněme, že chceme najít součet $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Jaká fráze může popsat položku $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Můžeme říci toto: toto je součet jedna na druhou, dvě na druhou, tři na druhou, čtyři na druhou a pět na druhou. Nebo to můžeme říci stručněji: toto je součet druhých mocnin celých čísel od 1 do 5. Abychom součet vyjádřili stručněji, můžeme jej napsat pomocí písmene $\sum$ (jedná se o řecké písmeno „sigma“). .

Místo $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ můžeme použít následující zápis: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Písmeno $i$ se nazývá sumační index a čísla 1 (počáteční hodnota $i$) a 5 (konečná hodnota $i$) se nazývají dolní a horní součtové meze respektive.

Pojďme detailně dešifrovat záznam $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Pokud $i=1$, pak $i^2=1^2$, takže první člen tohoto součtu bude číslo $1^2$:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+\ldots $$

Další celé číslo po jedničce je dvě, takže dosazením $i=2$ dostaneme: $i^2=2^2$. Částka nyní bude:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+\ldots $$

Po dvou je další číslo tři, takže dosazením $i=3$ budeme mít: $i^2=3^2$. A součet bude vypadat takto:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$

K dosazení zbývají pouze dvě čísla: 4 a 5. Pokud dosadíte $i=4$, pak $i^2=4^2$, a pokud dosadíte $i=5$, pak $i^2=5 ^2 $. Hodnoty $i$ dosáhly horního limitu součtu, takže výraz $5^2$ bude poslední. Takže konečná částka je nyní:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$

Tuto částku lze vypočítat jednoduchým sečtením čísel: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2=55$.

Pro procvičení si zkuste zapsat a spočítat následující součet: $\sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)$. Součtový index je zde písmeno $k$, spodní součtový limit je 3 a horní součtový limit je 8.

$$ \sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$

Pro kolony existuje také analog vzorce (1). Vzorec pro rozšíření determinantu v j-tém sloupci je následující:

\začátek(rovnice) \Delta A=\součet\limity_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(rovnice)

Pravidla vyjádřená vzorci (1) a (2) lze formulovat následovně: determinant je roven součtu součinů prvků určitého řádku nebo sloupce algebraickými doplňky těchto prvků. Pro přehlednost uvažujme determinant čtvrtého řádu, psaný v obecné formě. Rozdělme to například na prvky čtvrtého sloupce (prvky tohoto sloupce jsou zvýrazněny zeleně):

$$\Delta=\left| \begin(pole) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) & \normgreen(a_(14)) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) & \normgreen (a_(24)) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) & \normgreen(a_(34)) \\ a_(41) & a_(42) & a_(43) & \normgreen (a_(44)) \\ \end(pole) \right|$$ $$ \Delta =\normgreen(a_(14))\cdot(A_(14))+\normgreen(a_(24))\cdot (A_(24))+\normgreen(a_(34))\cdot(A_(34))+\normgreen(a_(44))\cdot(A_(44)) $$

Podobně, rozbalením například podél třetího řádku, dostaneme následující vzorec pro výpočet determinantu:

$$ \Delta =a_(31)\cdot(A_(31))+a_(32)\cdot(A_(32))+a_(33)\cdot(A_(33))+a_(34)\cdot (A_(34)) $$

Příklad č. 1

Vypočítejte determinant matice $A=\left(\begin(pole) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(pole) \right)$ pomocí rozšíření na první řádek a druhý sloupec.

Potřebujeme vypočítat determinant třetího řádu $\Delta A=\left| \begin(pole) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(pole) \right|$. Chcete-li jej rozšířit podél prvního řádku, musíte použít vzorec. Zapišme toto rozšíření v obecné podobě:

$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13). $$

Pro naši matici $a_(11)=5$, $a_(12)=-4$, $a_(13)=3$. Pro výpočet algebraických sčítání $A_(11)$, $A_(12)$, $A_(13)$ použijeme vzorec č. 1 z tématu na . Takže požadované algebraické doplňky jsou:

\begin(zarovnáno) & A_(11)=(-1)^2\cdot \left| \begin(pole) (cc) 2 & -1 \\ 0 & 4 \end(pole) \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_(12)=( -1)^3\cdot \left| \begin(pole) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(pole) \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_( 13)=(-1)^4\cdot \left| \begin(pole) (cc) 7 & 2 \\ 9 & 0 \end(pole) \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end (zarovnáno)

Jak jsme našli algebraické doplňky? zobrazit\skrýt

Nahrazením všech nalezených hodnot do výše napsaného vzorce dostaneme:

$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)=5\cdot(8)+(-4) \cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$

Jak vidíte, zredukovali jsme proces hledání determinantu třetího řádu na výpočet hodnot tří determinantů druhého řádu. Jinými slovy, snížili jsme pořadí původního determinantu.

Obvykle v takových jednoduchých případech nepopisují řešení podrobně, samostatně najdou algebraická sčítání a teprve potom je dosadí do vzorce pro výpočet determinantu. Nejčastěji jednoduše pokračují v psaní obecného vzorce, dokud nedostanou odpověď. Takto uspořádáme determinant ve druhém sloupci.

Začněme tedy rozšiřovat determinant ve druhém sloupci. Nebudeme provádět pomocné výpočty, budeme jednoduše pokračovat ve vzorci, dokud nedostaneme odpověď. Upozorňujeme, že ve druhém sloupci je jeden prvek roven nule, tzn. $a_(32)=0$. To naznačuje, že výraz $a_(32)\cdot A_(32)=0\cdot A_(23)=0$. Pomocí vzorce pro expanzi ve druhém sloupci dostaneme:

$$ \Delta A= a_(12)\cdot A_(12)+a_(22)\cdot A_(22)+a_(32)\cdot A_(32)=-4\cdot (-1)\cdot \ vlevo| \begin(pole) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(pole) \right|+2\cdot \left| \begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 9 & 4 \end(pole) \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$

Odpověď byla přijata. Výsledek expanze podél druhého sloupce se přirozeně shodoval s výsledkem expanze podél prvního řádku, protože jsme rozšiřovali stejný determinant. Všimněte si, že když jsme rozšířili druhý sloupec, provedli jsme méně výpočtů, protože jeden prvek druhého sloupce byl nulový. Vychází z takových úvah, že pro rozklad se snaží vybrat sloupec nebo řádek, který obsahuje více nul.

Odpověď: $\Delta A=134 $.

Příklad č. 2

Vypočítejte determinant matice $A=\left(\begin(pole) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(pole) \vpravo)$ pomocí rozšíření na vybraný řádek nebo sloupec.

Pro rozklad je nejvýhodnější zvolit řádek nebo sloupec, který obsahuje nejvíce nul. Přirozeně v tomto případě má smysl expandovat podél třetího řádku, protože obsahuje dva prvky rovné nule. Pomocí vzorce zapíšeme rozšíření determinantu podél třetího řádku:

$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34). $$

Protože $a_(31)=-5$, $a_(32)=0$, $a_(33)=-4$, $a_(34)=0$, bude výše napsaný vzorec:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33). $$

Vraťme se k algebraickým doplňkům $A_(31)$ a $A_(33)$. K jejich výpočtu použijeme vzorec č. 2 z tématu věnovaného determinantům druhého a třetího řádu (ve stejné části jsou podrobné příklady použití tohoto vzorce).

\begin(zarovnáno) & A_(31)=(-1)^4\cdot \left| \begin(pole) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(pole) \right|=10;\\ & A_(33)=( -1)^6\cdot \left| \begin(pole) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(pole) \right|=-34. \end (zarovnáno)

Dosazením získaných dat do vzorce pro determinant budeme mít:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33)=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

V zásadě lze celé řešení napsat na jeden řádek. Pokud přeskočíte všechna vysvětlení a mezivýpočty, bude řešení napsáno následovně:

$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34)= \\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin(pole) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(pole) \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin(pole) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(pole) \right|=-5\cdot 10-4\cdot ( -34) = 86. $$

Odpověď: $\Delta A=86 $.

Rovná se součtu součinů prvků řádku nebo sloupce jejich algebraickými doplňky, tzn. , kde i 0 je pevné.
Výraz (*) se nazývá rozšíření determinantu D do prvků řádku očíslovaného i 0 .

Účel služby. Tato služba je navržena k nalezení determinantu matice v online režimu s registrací celého procesu řešení ve formátu Word. Kromě toho se v aplikaci Excel vytvoří šablona řešení.

Instrukce. Vyberte rozměr matice a klikněte na Další. Determinant lze vypočítat dvěma způsoby: podle definice A podle řádku nebo sloupce. Pokud potřebujete najít determinant vytvořením nul v jednom z řádků nebo sloupců, můžete použít tuto kalkulačku.

Algoritmus pro nalezení determinantu

Pro matice řádu n=2 se determinant vypočítá pomocí vzorce: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
Pro matice řádu n=3 se determinant vypočítá pomocí algebraických sčítání resp Sarrusova metoda.
Matice o rozměru větším než tři se rozloží na algebraické doplňky, pro které se vypočítají jejich determinanty (minor). Například, Maticový determinant 4. řádu nalezené expanzí do řádků nebo sloupců (viz příklad).

Pro výpočet determinantu obsahujícího funkce v matici se používají standardní metody. Vypočítejte například determinant matice 3. řádu:

Použijeme metodu rozkladu podél první řady.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metody výpočtu determinantů

Hledání determinantu pomocí algebraických sčítání je běžná metoda. Jeho zjednodušenou verzí je výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem. Pokud je však rozměr matice velký, používají se následující metody:

výpočet determinantu metodou redukce objednávky
výpočet determinantu pomocí Gaussovy metody (redukcí matice na trojúhelníkový tvar).

V Excelu se k výpočtu determinantu používá funkce =MOPRED(rozsah buněk).

Aplikované použití determinantů

Determinanty se počítají zpravidla pro konkrétní systém specifikovaný ve formě čtvercové matice. Podívejme se na některé typy problémů nalezení determinantu matice.

Někdy potřebujete najít neznámý parametr a, pro který by byl determinant roven nule. K tomu je nutné vytvořit determinantní rovnici (např trojúhelníkové pravidlo) a přirovnáním k 0 vypočítejte parametr a.
rozklad sloupců (první sloupec):
Vedlejší pro (1,1): Vyškrtněte z matice první řádek a první sloupec.
Pojďme najít určující prvek pro tuto minoritu. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.

Určíme vedlejší pro (2,1): za tím účelem vymažeme z matice druhý řádek a první sloupec.

Pojďme najít určující prvek pro tuto minoritu. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Vedlejší pro (3,1): Vyškrtněte 3. řádek a 1. sloupec z matice.
Pojďme najít určující prvek pro tuto minoritu. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Hlavní determinant je: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Pojďme najít determinant pomocí rozšíření řádek po řádku (o první řádek):
Vedlejší pro (1,1): Vyškrtněte z matice první řádek a první sloupec.

Pojďme najít určující prvek pro tuto minoritu. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Vedlejší pro (1,2): Vyškrtněte 1. řádek a 2. sloupec z matice.
Vypočítejme determinant pro tuto minoritu. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. A abychom našli vedlejší pro (1,3), vyškrtneme z matice první řádek a třetí sloupec.

Pojďme najít určující prvek pro tuto minoritu. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4

Najděte hlavní determinant: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

V obecném případě je pravidlo pro výpočet determinantů $n$-tého řádu značně těžkopádné. Pro determinanty druhého a třetího řádu existují racionální způsoby jejich výpočtu.

Výpočty determinantů druhého řádu

Chcete-li vypočítat determinant matice druhého řádu, musíte odečíst součin prvků sekundární úhlopříčky od součinu prvků hlavní úhlopříčky:

$$\left| \begin(pole)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(pole)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$ Příklad

Cvičení. Vypočítejte determinant druhého řádu $\left| \begin(pole)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(pole)\right|$

Řešení.$\left| \begin(pole)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(pole)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 = 69 $

Odpověď.

$\left| \begin(pole)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(pole)\right|=69$

Metody výpočtu determinantů třetího řádu

Pro výpočet determinantů třetího řádu existují následující pravidla.

Součin prvků v prvním determinantu, které jsou spojeny přímkami, se bere se znaménkem plus; obdobně pro druhý determinant se odpovídající součiny berou se znaménkem minus, tzn.

$$\left| \begin(pole)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\konec(pole)\vpravo|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Chcete-li vypočítat determinant matice druhého řádu, musíte odečíst součin prvků sekundární úhlopříčky od součinu prvků hlavní úhlopříčky:

$$\left| \begin(pole)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(pole)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$ Vypočítejte determinant $\left| \začátek(pole)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (pole)\right|$ pomocí metody trojúhelníku.

Cvičení.$\left| \začátek(pole)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (pole)\vpravo|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Řešení.

Sarrus vládne

Napravo od determinantu přidejte první dva sloupce a vezměte součiny prvků na hlavní diagonále a na úhlopříčkách s ní rovnoběžných se znaménkem plus; a součin prvků vedlejší úhlopříčky a úhlopříček s ní rovnoběžných se znaménkem mínus:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Chcete-li vypočítat determinant matice druhého řádu, musíte odečíst součin prvků sekundární úhlopříčky od součinu prvků hlavní úhlopříčky:

Cvičení.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54 $ $

Řešení.$\left| \začátek(pole)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (pole)\vpravo|=54$

Rozšíření determinantu o řádek nebo sloupec

Determinant je roven součtu součinů prvků řady determinantu a jejich algebraických doplňků. Obvykle je vybrán řádek/sloupec, který obsahuje nuly. Řádek nebo sloupec, podél kterého se provádí rozklad, bude označen šipkou.

Chcete-li vypočítat determinant matice druhého řádu, musíte odečíst součin prvků sekundární úhlopříčky od součinu prvků hlavní úhlopříčky:

$$\left| \begin(pole)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(pole)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$ Rozbalením podél prvního řádku vypočítejte determinant $\left| \begin(pole)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(pole) \right|$

Cvičení.$\left| \begin(pole)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(pole) \vpravo| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

Řešení.

Tato metoda umožňuje zredukovat výpočet determinantu na výpočet determinantu nižšího řádu.

Chcete-li vypočítat determinant matice druhého řádu, musíte odečíst součin prvků sekundární úhlopříčky od součinu prvků hlavní úhlopříčky:

Cvičení. Proveďme na řádcích determinantu následující transformace: od druhého řádku odečteme první čtyři a od třetího prvního řádku vynásobeného sedmi, v důsledku toho podle vlastností determinantu získáme determinant rovna danému.

$$\left| \begin(pole)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(pole) \right|=\left| \begin(pole)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(pole)\right|=$$

$$=\left| \begin(pole)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(pole)\right|=\left| \begin(pole)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(pole)\vpravo|=0$$

Determinant je nula, protože druhý a třetí řádek jsou proporcionální.

Řešení.$\left| \begin(pole)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(pole) \right|=0$

K výpočtu determinantů čtvrtého řádu a vyšších se používá buď řádková/sloupcová expanze, nebo redukce do trojúhelníkového tvaru nebo pomocí Laplaceova teorému.

Rozložení determinantu na prvky řádku nebo sloupce

Chcete-li vypočítat determinant matice druhého řádu, musíte odečíst součin prvků sekundární úhlopříčky od součinu prvků hlavní úhlopříčky:

$$\left| \begin(pole)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(pole)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$ Vypočítejte determinant $\left| \begin(pole)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(pole)\right|$ , rozloží to na prvky nějakého řádku nebo nějakého sloupce.

Cvičení. Proveďme nejprve elementární transformace na řádcích determinantu tak, aby bylo v řádku nebo ve sloupci co nejvíce nul. Chcete-li to provést, nejprve odečtěte devět třetin od prvního řádku, pět třetin od druhého a tři třetiny od čtvrtého, dostaneme:

$$\left| \begin(pole)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(pole)\right|=\left| \begin(pole)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(pole)\right|=\ vlevo| \begin(pole)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\konec (pole)\vpravo|$$

Rozložme výsledný determinant na prvky prvního sloupce:

$$\left| \begin(pole)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(pole)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(pole)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ konec(pole)\vpravo|+0$$

Výsledný determinant třetího řádu také rozšíříme na řádkové a sloupcové prvky, přičemž dříve jsme získali například nuly v prvním sloupci. Chcete-li to provést, odečtěte druhé dva řádky od prvního řádku a druhý od třetího:

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Řešení.$\left| \begin(pole)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\konec(pole)\vpravo|=0$

Komentář

Poslední a předposlední determinanty nebylo možné vypočítat, ale okamžitě došlo k závěru, že jsou rovny nule, protože obsahují proporcionální řádky.

Redukce determinantu na trojúhelníkový tvar

Pomocí elementárních transformací přes řádky nebo sloupce je determinant redukován do trojúhelníkového tvaru a jeho hodnota se pak podle vlastností determinantu rovná součinu prvků na hlavní diagonále.

Chcete-li vypočítat determinant matice druhého řádu, musíte odečíst součin prvků sekundární úhlopříčky od součinu prvků hlavní úhlopříčky:

$$\left| \begin(pole)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(pole)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$ Vypočítejte determinant $\Delta=\left| \begin(pole)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(pole)\vpravo|$ zmenšení na trojúhelníkový tvar.

Cvičení. Nejprve uděláme nuly v prvním sloupci pod hlavní diagonálou. Všechny transformace se budou snáze provádět, pokud je prvek $a_(11)$ roven 1. K tomu prohodíme první a druhý sloupec determinantu, což podle vlastností determinantu způsobí, že změnit jeho znaménko na opačné:

$$\Delta=\left| \begin(pole)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(pole)\right|=-\left| \begin(pole)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\konec (pole)\vpravo|$$

$$\Delta=-\left| \begin(pole)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\konec (pole)\vpravo|$$

Dále dostaneme nuly ve druhém sloupci místo prvků pod hlavní diagonálou. Opět, pokud je diagonální prvek roven $\pm 1$ , pak budou výpočty jednodušší. Chcete-li to provést, prohoďte druhý a třetí řádek (a současně změňte na opačné znaménko determinantu):

$$\Delta=\left| \begin(pole)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\konec (pole)\vpravo|$$

Maticový determinant

Nalezení determinantu matice je velmi častým problémem ve vyšší matematice a algebře. Bez hodnoty maticového determinantu se při řešení složitých soustav rovnic zpravidla neobejdeme. Cramerova metoda pro řešení soustav rovnic je založena na výpočtu determinantu matice. Pomocí definice determinantu se zjišťuje přítomnost a jednoznačnost řešení soustavy rovnic. Proto je obtížné přeceňovat význam schopnosti správně a přesně najít determinant matice v matematice. Metody řešení determinantů jsou teoreticky poměrně jednoduché, ale s rostoucí velikostí matice se výpočty stávají velmi těžkopádnými a vyžadují velkou péči a spoustu času. V takto složitých matematických výpočtech je velmi snadné udělat drobnou chybu nebo překlep, což povede k chybě v konečné odpovědi. Takže i když najdete maticový determinant sami, je důležité zkontrolovat výsledek. To lze provést pomocí naší služby Hledání determinantu matice online. Naše služba vždy poskytuje naprosto přesné výsledky, které neobsahují žádné chyby nebo administrativní chyby. Nezávislé výpočty můžete odmítnout, protože z aplikovaného hlediska zjištění determinant matice Nemá to vzdělávací charakter, ale prostě vyžaduje spoustu času a numerických výpočtů. Pokud tedy ve svém úkolu definice maticového determinantu jsou pomocné, vedlejší kalkulace, využijte naši službu a najít maticový determinant online!

Všechny výpočty jsou prováděny automaticky s nejvyšší přesností a jsou zcela zdarma. Máme velmi pohodlné rozhraní pro zadávání maticových prvků. Ale hlavním rozdílem mezi naší službou a podobnými je možnost získání detailního řešení. Naše služba na online výpočet determinantu matice vždy používá nejjednodušší a nejkratší metodu a podrobně popisuje každý krok transformací a zjednodušení. Získáte tak nejen hodnotu determinantu matice, konečný výsledek, ale i celé detailní řešení.

Další vlastnosti souvisí s pojmy vedlejší a algebraický doplněk

Menší prvek se nazývá determinant, složený z prvků zbývajících po přeškrtnutí řádku a sloupce, na jehož průsečíku se tento prvek nachází. Vedlejší prvek determinantu pořadí má pořadí . Budeme ho označovat .

Příklad 1 Nechat , Pak .

Tato vedlejší se získá z A přeškrtnutím druhého řádku a třetího sloupce.

Algebraický doplněk prvek se nazývá odpovídající minor vynásobený , tzn. , kde je číslo řádku a sloupce, na jehož průsečíku se tento prvek nachází.

VIII.(Rozklad determinantu na prvky určitého řetězce). Determinant je roven součtu součinů prvků určitého řádku a jim odpovídajících algebraických doplňků.

Příklad 2 Nechat , Pak

Příklad 3 Pojďme najít determinant matice , rozkládající jej na prvky první řady.

Formálně je tato věta a další vlastnosti determinantů použitelné pouze pro determinanty matic ne vyššího než třetího řádu, protože jiné determinanty jsme neuvažovali. Následující definice nám umožní rozšířit tyto vlastnosti na determinanty libovolného řádu.

Determinant matice objednávka je číslo vypočítané sekvenční aplikací věty o expanzi a dalších vlastností determinantů.

Můžete zkontrolovat, že výsledek výpočtů nezávisí na pořadí, ve kterém jsou výše uvedené vlastnosti aplikovány a pro které řádky a sloupce. Pomocí této definice je determinant jednoznačně nalezen.

Ačkoli tato definice a neobsahuje explicitní vzorec pro nalezení determinantu, umožňuje vám jej najít redukcí na determinanty matic nižšího řádu. Takové definice se nazývají opakující se.

Příklad 4. Vypočítejte determinant:

Ačkoli faktorizační teorém může být aplikován na libovolný řádek nebo sloupec dané matice, získá se méně výpočtů faktorizací podél sloupce, který obsahuje co nejvíce nul.

Protože matice nemá nulové prvky, získáme je pomocí vlastnosti VII. Vynásobte první řádek postupně čísly a přidejte jej do řádků a získáte: