Rychlost bodu je vektor, který u každého určuje tento momentčas, rychlost a směr pohybu bodu.

Rychlost rovnoměrného pohybu je určena poměrem dráhy, kterou bod urazil za určitý časový úsek, k hodnotě tohoto časového úseku.

Rychlost; S-cesta; t-čas.

Rychlost se měří v jednotkách délky dělených jednotkou času: m/s; cm/s; km/h atd.

V případě přímočarého pohybu je vektor rychlosti veden po trajektorii ve směru jeho pohybu.

Pokud se bod pohybuje po nestejných drahách ve stejných časových obdobích, pak se tento pohyb nazývá nerovnoměrný. Rychlost je proměnná veličina a je funkcí času.

Průměrná rychlost bodu za dané časové období je rychlost takového rovnoměrného přímočarého pohybu, při kterém by bod během tohoto časového období obdržel stejné posunutí jako při jeho uvažovaném pohybu.

Uvažujme bod M, který se pohybuje po křivočaré trajektorii určené zákonem

Za čas?t se bod M přesune do polohy M1 podél oblouku MM 1. Pokud je časový úsek?t malý, pak lze oblouk MM 1 nahradit tětivou a pro první aproximaci najít průměr rychlost bodu

Tato rychlost směřuje podél tětivy z bodu M do bodu M1. Pojďme zjistit skutečnou rychlost tak, že půjdeme na limit na?t> 0

Když?t> 0, směr tětivy v limitě se shoduje se směrem tečny k trajektorii v bodě M.

Hodnota rychlosti bodu je tedy definována jako limit poměru přírůstku dráhy k odpovídajícímu časovému období, protože tento má tendenci k nule. Směr rychlosti se shoduje s tečnou k trajektorii v daném bodě.

Bodové zrychlení

Všimněte si, že v obecném případě se při pohybu po zakřivené dráze rychlost bodu mění jak ve směru, tak ve velikosti. Změna rychlosti za jednotku času je určena zrychlením. Jinými slovy, zrychlení bodu je veličina, která charakterizuje rychlost změny rychlosti v čase. Pokud se během časového intervalu změní rychlost o určitou hodnotu, pak průměrné zrychlení

Skutečné zrychlení bodu v daném čase t je hodnota, ke které má průměrné zrychlení tendenci při?t> 0, tzn.

Jak se časový interval blíží k nule, vektor zrychlení se bude měnit jak ve velikosti, tak ve směru a bude mít sklon ke svému limitu.

Dimenze zrychlení

Zrychlení lze vyjádřit v m/s 2 ; cm/s 2 atd.

V obecném případě, kdy je pohyb bodu dán přirozeným způsobem, se vektor zrychlení obvykle rozloží na dvě složky, směřující tečně a kolmo k trajektorii bodu.

Potom lze zrychlení bodu v čase t znázornit následovně

Označme limity komponent pomocí a.

Směr vektoru nezávisí na hodnotě časového intervalu?t.

Toto zrychlení se vždy shoduje se směrem rychlosti, to znamená, že směřuje tečně k trajektorii bodu, a proto se nazývá tečné nebo tečné zrychlení.

Druhá složka zrychlení bodu směřuje kolmo k tečně k trajektorii v daném bodě ke konkávnosti křivky a ovlivňuje změnu směru vektoru rychlosti. Tato složka zrychlení se nazývá normální zrychlení.

Protože číselná hodnota vektoru je rovna přírůstku rychlosti bodu za uvažované časové období?t, pak číselná hodnota tečného zrychlení

Číselná hodnota tečného zrychlení bodu je rovna časové derivaci číselné hodnoty rychlosti. Číselná hodnota normálního zrychlení bodu se rovná druhé mocnině rychlosti bodu dělené poloměrem zakřivení trajektorie v odpovídajícím bodě křivky.

Celkové zrychlení při nerovnoměrném křivočarém pohybu bodu je složeno geometricky z tečného a normálového zrychlení.

Metody pro specifikaci pohybu bodu.

Pohyb nastaveného bodu - to znamená označení pravidla, podle kterého lze v kterémkoli okamžiku určit jeho polohu daný systém odpočítávání.

Matematický výraz pro toto pravidlo se nazývá zákon pohybu nebo pohybová rovnice body.

Existují tři způsoby, jak určit pohyb bodu:

vektor;

koordinovat;

přírodní.

Na nastavte pohyb vektorovým způsobem, potřebovat:

à vybrat pevný střed;

à určit polohu bodu pomocí vektoru poloměru, počínaje nehybným středem a končícím pohybujícím se bodem M;

à definujte tento vektor poloměru jako funkci času t: .

Výraz

volal vektorový pohybový zákon tečky, popř vektorová pohybová rovnice.

!! Vektor poloměru – jedná se o vzdálenost (vektorový modul) + směr od středu O k bodu M, kterou lze určit různými způsoby, např. úhly s danými směry.

K nastavení pohybu souřadnicová metoda , potřebovat:

à vybrat a opravit souřadnicový systém (libovolný: kartézský, polární, sférický, válcový atd.);

à určit polohu bodu pomocí příslušných souřadnic;

à nastavte tyto souřadnice jako funkci času t.

V kartézském souřadnicovém systému je tedy nutné funkce uvádět

V polárním souřadnicovém systému by polární poloměr a polární úhel měly být definovány jako funkce času:

Obecně platí, že u metody zadávání souřadnic by měly být souřadnice, pomocí kterých je určena aktuální poloha bodu, specifikovány jako funkce času.

Umět nastavit pohyb bodu přirozeným způsobem, musíte to vědět trajektorie . Zapišme si definici trajektorie bodu.

Trajektorie volají se body množinu svých pozic za jakékoli časové období(obvykle od 0 do +¥).

V příkladu s kolem odvalujícím se po silnici je trajektorie bodu 1 cykloidní a body 2 – ruleta; v referenční soustavě spojené se středem kola jsou trajektorie obou bodů kruh.

Chcete-li nastavit pohyb bodu přirozeným způsobem, potřebujete:

à znát trajektorii bodu;

à na trajektorii vyberte počátek a kladný směr;

à určit aktuální polohu bodu délkou oblouku trajektorie od počátku k tomuto Současná situace;

à označte tuto délku jako funkci času.

Výraz definující výše uvedenou funkci je

volal zákon pohybu bodu po trajektorii nebo přirozená pohybová rovnice body.

V závislosti na typu funkce (4) se bod podél trajektorie může pohybovat různými způsoby.

3. Trajektorie bodu a její definice.

Definice pojmu „dráha bodu“ byla uvedena dříve v otázce 2. Zamysleme se nad otázkou určení dráhy bodu, když v různých cestách pohybové úkoly.

Přirozenou cestou: Trajektorie musí být dána, takže ji není potřeba hledat.

Vektorová metoda: musíte přejít na metodu souřadnic podle rovnosti

Souřadnicová metoda: z pohybových rovnic (2), nebo (3) je nutné vyloučit čas t.

Souřadnicové pohybové rovnice definují trajektorii parametricky, prostřednictvím parametru t (čas). Chcete-li získat explicitní rovnici pro křivku, musí být parametr z rovnic vyloučen.

Po eliminaci času z rovnic (2) získáme dvě rovnice válcových ploch, např. ve tvaru

Průsečíkem těchto ploch bude trajektorie bodu.

Když se bod pohybuje po rovině, problém se zjednoduší: po odstranění času ze dvou rovnic

Rovnice trajektorie bude získána v jedné z následujících forem:

Kdy bude , tedy trajektorie bodu bude pravou větví paraboly:

Z pohybových rovnic to vyplývá

trajektorií bodu tedy bude ta část paraboly, která se nachází v pravé polorovině:

Pak dostaneme

Protože celá elipsa bude trajektorií bodu.

Na střed elipsy bude v počátku O; u dostaneme kruh; parametr k neovlivňuje tvar elipsy; závisí na něm rychlost pohybu bodu po elipse. Pokud v rovnicích prohodíte cos a sin, pak se nezmění trajektorie (stejná elipsa), ale změní se počáteční poloha bodu a směr pohybu.

Rychlost bodu charakterizuje „rychlost“ změny jeho polohy. Formálně: rychlost – pohyb bodu za jednotku času.

Přesná definice.

Pak přístup

Pokud je hmotný bod v pohybu, pak se jeho souřadnice mění. Tento proces může probíhat rychle nebo pomalu.

Definice 1

Veličina, která charakterizuje rychlost změny polohy souřadnic, se nazývá Rychlost.

Definice 2

průměrná rychlost– jedná se o vektorovou veličinu, číselně rovnou posunutí za jednotku času a kosměrnou s vektorem posunutí υ = ∆ r ∆ t ; υ ∆ r.

Obrázek 1 . Průměrná rychlost je shodná s pohybem

Velikost průměrné rychlosti na dráze je rovna υ = S ∆ t.

Okamžitá rychlost charakterizuje pohyb v určitém okamžiku. Výraz „rychlost těla v daném čase“ je považován za nesprávný, ale použitelný v matematických výpočtech.

Definice 3

Okamžitá rychlost je limit, ke kterému se průměrná rychlost υ blíží, když se časový interval ∆ t blíží k 0:

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .

Směr vektoru υ je tečný ke křivočaré trajektorii, protože infinitezimální posunutí d r se shoduje s nekonečně malým prvkem trajektorie d s.

Obrázek 2 Vektor okamžité rychlosti υ

Stávající výraz υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ v kartézských souřadnicích je shodný s níže navrženými rovnicemi:

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .

Modul vektoru υ bude mít tvar:

υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 .

Pro přechod z kartézských pravoúhlých souřadnic ke křivočarým se používají pravidla pro derivování komplexních funkcí. Pokud je vektor poloměru r funkcí křivočarých souřadnic r = r q 1, q 2, q 3, pak se hodnota rychlosti zapíše jako:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .

Obrázek 3 Posun a okamžitá rychlost v křivočarých souřadnicových systémech

Pro sférické souřadnice předpokládejme, že q 1 = r; q2 = φ; q 3 = θ, pak dostaneme υ, prezentované v tomto tvaru:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ, kde υ r = r ˙; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2 .

Definice 4

Okamžitá rychlost nazveme hodnotu derivace funkce posunutí v čase v daném okamžiku, spojené s elementárním posunutím vztahem d r = υ (t) d t

Příklad 1

Je dán zákon o přímočarém pohybu bodu x (t) = 0, 15 t 2 - 2 t + 8. Určete jeho okamžitou rychlost 10 sekund po začátku pohybu.

Řešení

Okamžitá rychlost se obvykle nazývá první derivace vektoru poloměru s ohledem na čas. Jeho zadání pak bude vypadat takto:

υ (t) = x ˙ (t) = 0 . 3 t-2; υ (10) = 0 . 3 x 10-2 = 1 m/s.

Odpovědět: 1 m/s.

Příklad 2

Pohyb hmotného bodu je dán rovnicí x = 4 t - 0,05 t 2. Vypočítejte časový okamžik t o с t, kdy se bod přestane pohybovat, a jeho průměrnou pozemní rychlost υ.

Řešení

Pojďme vypočítat rovnici pro okamžitou rychlost a dosadit číselné výrazy:

υ (t) = x ˙ (t) = 4 - 0, 1 t.

4 - 0, 1 t = 0; t o s t = 40 s; υ 0 = υ (0) = 4; υ = ∆ υ ∆ t = 0 - 4 40 - 0 = 0,1 m/s.

Odpovědět: nastavená hodnota se zastaví po 40 sekundách; průměrná hodnota rychlosti je 0,1 m/s.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

A proč je to potřeba? Už víme, co je vztažná soustava, relativita pohybu a hmotný bod. No, je čas jít dál! Zde se podíváme na základní pojmy kinematiky, dáme dohromady nejužitečnější vzorce pro základy kinematiky a uvedeme praktický příklad řešení úlohy.

Pojďme vyřešit tento problém: bod se pohybuje po kružnici o poloměru 4 metry. Zákon jeho pohybu vyjadřuje rovnice S=A+Bt^2. A = 8 m, B = -2 m/s^2. V jakém časovém okamžiku normální zrychlení bodů rovných 9 m/s^2? Najděte rychlost, tečné a celkové zrychlení bodu pro tento časový okamžik.

Řešení: víme, že abychom našli rychlost, musíme vzít první časovou derivaci pohybového zákona a normální zrychlení se rovná podílu druhé mocniny rychlosti a poloměru kružnice, podél které se bod pohybuje pohybuje se. Vyzbrojeni těmito znalostmi najdeme požadovaná množství.

Potřebujete pomoc s řešením problémů? Profesionální studentský servis je připraven ji poskytnout.

1.2. Přímý pohyb

1.2.4. průměrná rychlost

Hmotný bod (těleso) si zachovává svou rychlost nezměněnou pouze při rovnoměrném přímočarém pohybu. Pokud je pohyb nerovnoměrný (včetně rovnoměrně proměnlivého), pak se rychlost těla mění. Tento pohyb se vyznačuje průměrnou rychlostí. Rozlišuje se průměrná pojezdová rychlost a průměrná pozemní rychlost.

Průměrná rychlost pohybu je vektorová fyzikální veličina, která je určena vzorcem

v → r = Δ r → Δ t,

kde Δ r → je vektor posunutí; ∆t je časový interval, během kterého k tomuto pohybu došlo.

Průměrná pozemní rychlost je skalární fyzikální veličina a počítá se podle vzorce

v s = S celkem t celkem,

kde S celkem = Si + Si + ... + Sn; ttot = t1 + t2 + ... + tN.

Zde S 1 = v 1 t 1 - první úsek cesty; v 1 - rychlost průjezdu prvního úseku cesty (obr. 1.18); t 1 - čas pohybu na prvním úseku trasy atd.

Rýže. 1.18

Příklad 7. Jednu čtvrtinu cesty se autobus pohybuje rychlostí 36 km/h, druhou čtvrtinu cesty - 54 km/h, zbývající cestu - rychlostí 72 km/h. Vypočítejte průměrnou pozemní rychlost autobusu.

Řešení. Celkovou cestu ujetou autobusem označujeme jako S:

Stot = S.

S 1 = S /4 - trasa ujetá autobusem na prvním úseku,

S 2 = S /4 - trasa ujetá autobusem na druhém úseku,

S 3 = S /2 - cesta ujetá autobusem ve třetím úseku.

Doba jízdy autobusem se určuje podle vzorců:

• v první sekci (S 1 = S /4) -

  ti = Si vi = S4 vi;

• ve druhé sekci (S 2 = S /4) -

  t2 = S2v2 = S4v2;

• ve třetí sekci (S 3 = S /2) -

  t3 = S3v3 = S2v3.

Celková doba jízdy autobusem je:

t celkem = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) .

v s = S celkem t celkem = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =

1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2 .

v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 km/h.

Příklad 8. Městský autobus stráví pětinu času zastavením, zbytek času se pohybuje rychlostí 36 km/h. Určete průměrnou pozemní rychlost autobusu.

Řešení. Označme celkovou dobu jízdy autobusu na trase t:

ttot = t.

t 1 = t /5 - čas strávený zastavením,

t 2 = 4t /5 - doba jízdy autobusu.

Překonaná vzdálenost autobusem:

• během času t 1 = t /5 -

  S 1 = v 1 t 1 = 0,

protože rychlost sběrnice v 1 v daném časovém intervalu je nulová (v 1 = 0);

• během času t 2 = 4t /5 -

  S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t,

  kde v 2 je rychlost autobusu v daném časovém intervalu (v 2 = 36 km/h).

Obecná trasa autobusu je:

S celkem = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t.

Pomocí vzorce vypočítáme průměrnou pozemní rychlost autobusu

v s = S celkem t celkem = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2 .

Výpočet dává hodnotu průměrné pozemní rychlosti:

v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 km/h.

Příklad 9. Pohybová rovnice hmotného bodu má tvar x (t) = (9,0 − 6,0t + 2,0t 2) m, kde souřadnice je uvedena v metrech, čas v sekundách. Určete průměrnou pozemní rychlost a průměrnou rychlost pohybu hmotného bodu v prvních třech sekundách pohybu.

Řešení. Pro určení průměrná rychlost pohybu je nutné vypočítat posunutí hmotného bodu. Modul pohybu hmotného bodu v časovém intervalu od t 1 = 0 s do t 2 = 3,0 s vypočítáme jako rozdíl souřadnic:

| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | ,

Dosazením hodnot do vzorce pro výpočet modulu posunutí získáme:

| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | = 9,0 − 9,0 = 0 m.

Posun hmotného bodu je tedy nulový. Proto je modul průměrné rychlosti pohybu také nulový:

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 0 3,0 − 0 = 0 m/s.

Pro určení průměrná pozemní rychlost musíte vypočítat dráhu, kterou urazí hmotný bod za časový interval od t 1 = 0 s do t 2 = 3,0 s. Pohyb bodu je rovnoměrně pomalý, proto je nutné zjistit, zda bod zastavení spadá do zadaného intervalu.

K tomu zapíšeme zákon změny rychlosti hmotného bodu v čase ve tvaru:

v x = v 0 x + a x t = − 6,0 + 4,0 t,

kde v 0 x = −6,0 m/s je průmět počáteční rychlosti na osu Ox; a x = = 4,0 m/s 2 - průmět zrychlení na vyznačenou osu.

Pojďme najít bod zastavení z podmínky

v (τ zbytek) = 0,

těch.

τ zbytek = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 s.

Bod zastavení spadá do časového intervalu od t 1 = 0 s do t 2 = 3,0 s. Ujetou vzdálenost tedy vypočítáme pomocí vzorce

S = S1 + S2,

kde S 1 = | x (τ zbytek) − x (t 1) | - dráha ujetá hmotným bodem do zastávky, tzn. během doby od t 1 = 0 s do τ klid = 1,5 s; S2 = | x (t 2) − x (τ zbytek) | - dráha, kterou urazí hmotný bod po zastavení, tzn. během doby od τ klid = 1,5 s do t 1 = 3,0 s.

Pojďme vypočítat hodnoty souřadnic v zadaných časech:

x (ti) = 9,0 − 6,0 t 1 + 2,0 t 1 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 0 2 = 9,0 m;

x (τ zbytek) = 9,0 − 6,0 τ zbytek + 2,0 τ zbytek 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 m ;

x (t 2) = 9,0 − 6,0 t 2 + 2,0 t 2 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 m .

Hodnoty souřadnic vám umožňují vypočítat cesty S 1 a S 2:

S1 = | x (τ zbytek) − x (t 1) | = | 4,5 − 9,0 | = 4,5 m;

S2 = | x (t 2) − x (τ zbytek) | = | 9,0 − 4,5 | = 4,5 m,

a také celková ujetá vzdálenost:

S = Si + S2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 um.

V důsledku toho je požadovaná hodnota průměrné pozemní rychlosti materiálového bodu rovna

v s = S t 2 − t 1 = 9,0 3,0 − 0 = 3,0 m/s.

Příklad 10. Graf průmětu rychlosti hmotného bodu v závislosti na čase je přímka a prochází body (0; 8,0) a (12; 0), kde je rychlost udávána v metrech za sekundu, čas v sekundy. Kolikrát průměrná rychlost na zemi za 16 sekund pohybu překročí průměrnou rychlost pohybu za stejnou dobu?

Řešení. Graf projekce rychlosti tělesa v závislosti na čase je znázorněn na obrázku.

Pro grafický výpočet dráhy, kterou urazí hmotný bod a modul jeho pohybu, je nutné určit hodnotu průmětu rychlosti v čase rovném 16s.

Existují dva způsoby, jak určit hodnotu v x v určitém časovém okamžiku: analytický (prostřednictvím rovnice přímky) a grafický (prostřednictvím podobnosti trojúhelníků). K nalezení v x použijeme první metodu a sestavíme rovnici přímky pomocí dvou bodů:

t − t 1 t 2 − t 1 = v x − v x 1 v x 2 − v x 1 ,

kde (t 1 ; v x 1) - souřadnice prvního bodu; (t 2 ; v x 2) - souřadnice druhého bodu. Podle podmínek úlohy: t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0. Při zohlednění konkrétních hodnot souřadnic má tato rovnice tvar:

t − 0 12 − 0 = v x − 8,0 0 − 8,0 ,

v x = 8,0 − 2 3 t.

V t = 16 s je hodnota projekce rychlosti

| v x | = 83 m/s.

Tato hodnota lze také získat z podobnosti trojúhelníků.

• Vypočítejme dráhu, kterou urazí hmotný bod jako součet hodnot S 1 a S 2:

  S = S1 + S2,

  kde S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 m - dráha, kterou urazí hmotný bod za časový interval od 0 s do 12 s; S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 m - dráha, kterou urazí hmotný bod za časový interval od 12 s do 16 s.

Celková ujetá vzdálenost je

S = Si + S2 = 48 + 163 = 160 3 m.

Průměrná pozemní rychlost hmotného bodu je rovna

v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 m/s.

• Vypočítejme hodnotu pohybu hmotného bodu jako modul rozdílu mezi hodnotami S 1 a S 2:

  S = | S 1 − S 2 | = | 48 − 16 3 | = 128 3 m.

Průměrná rychlost pohybu je

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 m/s.

Požadovaný rychlostní poměr je

v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25.

Průměrná pozemní rychlost hmotného bodu je 1,25krát vyšší než modul průměrné rychlosti pohybu.