Zařízení

Výpočet vzdálenosti mezi body. Vzdálenost mezi dvěma body v rovině

Zde bude kalkulačka

Vzdálenost mezi dvěma body na přímce

Uvažujme souřadnicovou čáru, na které jsou vyznačeny 2 body: A A A A B B B. Chcete-li zjistit vzdálenost mezi těmito body, musíte zjistit délku segmentu A B AB A B. To se provádí pomocí následujícího vzorce:

Vzdálenost mezi dvěma body na přímce

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b∣,

Kde a, b a, b a, b- souřadnice těchto bodů na přímce (souřadnicové čáře).

Vzhledem k tomu, že vzorec obsahuje modul, není při jeho řešení důležité, kterou souřadnici od které odečíst (jelikož se bere absolutní hodnota tohoto rozdílu).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣ b −a∣

Podívejme se na příklad, abychom lépe porozuměli řešení takových problémů.

Příklad 1

Body jsou vyznačeny na souřadnicové čáře A A A, jehož souřadnice se rovná 9 9 9 a tečka B B B s koordinátem − 1 -1 − 1 . Musíme najít vzdálenost mezi těmito dvěma body.

Řešení

Zde a = 9, b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Použijeme vzorec a dosadíme hodnoty:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Odpověď

Vzdálenost mezi dvěma body v rovině

Uvažujme dva body dané na rovině. Z každého bodu označeného v rovině musíte snížit dvě kolmice: K ose O X OX O X a na nápravě O Y OY O Y. Pak se uvažuje o trojúhelníku A B C ABC A B C. Protože je obdélníkový ( B C BC B C kolmý AC AC A C), pak najděte segment A B AB A B, což je také vzdálenost mezi body, lze provést pomocí Pythagorovy věty. máme:

A B2 = AC2 + B C2AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Ale na základě skutečnosti, že délka AC AC A C rovná se x B − x A x_B-x_A x B − x A a délka B C BC B C rovná se y B − y A y_B-y_A y B − y A , lze tento vzorec přepsat takto:

Vzdálenost mezi dvěma body v rovině

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 ,

Kde x A , y A x_A, y_A x A , y A A x B, y B x_B, y_B x B , y B - souřadnice bodů A A A A B B B respektive.

Příklad 2

Je nutné najít vzdálenost mezi body C C C A F F F, pokud souřadnice prvního (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) a druhý - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Řešení

Xc = 8 x_C=8 x C = 8
yC = -1 y_C=-1 y C = − 1
x F = 4 x_F = 4 x F = 4
yF = 2 y_F=2 y F = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25) = 5C F =(x F − x C ) 2 + (y F − y C ) 2 = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 = 1 6 + 9 = 2 5 = 5

Odpověď

Vzdálenost mezi dvěma body v prostoru

Zjištění vzdálenosti mezi dvěma body je v tomto případě podobné jako v předchozím, s tím rozdílem, že souřadnice bodu v prostoru jsou určeny třemi čísly, do vzorce je třeba přidat i souřadnice osy aplikace. Vzorec bude vypadat takto:

Vzdálenost mezi dvěma body v prostoru

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − zA ) 2

Příklad 3

Najděte délku segmentu $F K v prostoru, pokud souřadnice bodů na jeho koncích jsou následující: (- 1; - 1; 8) A (- 3; 6; 0) . Zaokrouhlete svou odpověď na nejbližší celé číslo.$

Řešení

$F = (- 1; - 1; 8) K = (- 3; 6; 0)$

$FK=\sqrt((x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2)=\sqrt((-3-(-1) ))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2)=\sqrt(117)\cca 10,8$

Podle podmínek úlohy potřebujeme zaokrouhlit odpověď na celé číslo.

Řešení úloh v matematice je pro žáky často provázeno mnoha obtížemi. Pomozte studentovi tyto obtíže zvládnout, stejně jako ho naučte při řešení uplatňovat dosavadní teoretické znalosti konkrétní úkoly ve všech částech kurzu předmětu „Matematika“ - hlavní účel našich stránek.

Při zahájení řešení úloh na dané téma by studenti měli být schopni sestrojit bod na rovině pomocí jeho souřadnic a také najít souřadnice daného bodu.

Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body A(x A; y A) a B(x B; y B) v rovině se provede pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), kde d je délka segmentu, který spojuje tyto body v rovině.

Pokud se jeden z konců segmentu shoduje s počátkem souřadnic a druhý má souřadnice M(x M; y M), pak vzorec pro výpočet d bude mít tvar OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body na základě zadaných souřadnic těchto bodů

Příklad 1.

Najděte délku úsečky, která spojuje body A(2; -5) a B(-4; 3) v souřadnicové rovině (obr. 1).

Řešení.

Příkaz problému uvádí: x A = 2; x B = -4; y A = -5 a y B = 3. Najděte d.

Použitím vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) dostaneme:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Výpočet souřadnic bodu, který je stejně vzdálený od tří daných bodů

Příklad 2

Najděte souřadnice bodu O 1, který je stejně vzdálený od tří bodů A(7; -1) a B(-2; 2) a C(-1; -5).

Řešení.

Z formulace problémových podmínek vyplývá, že O 1 A = O 1 B = O 1 C. Nechť požadovaný bod O 1 má souřadnice (a; b). Pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zjistíme:

O 1 A = √ ((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

OiB = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O1C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Vytvořme soustavu dvou rovnic:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po umocnění levé a pravé strany rovnic zapíšeme:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Zjednodušení, pišme

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Po vyřešení soustavy dostaneme: a = 2; b = -1.

Bod O 1 (2; -1) je stejně vzdálený od tří bodů uvedených v podmínce, které neleží na stejné přímce. Tento bod je středem kružnice procházející třemi danými body (obr. 2).

3. Výpočet úsečky (ordináty) bodu, který leží na ose úsečky (ordináta) a je v dané vzdálenosti od daného bodu

Příklad 3

Vzdálenost od bodu B(-5; 6) k bodu A ležícímu na ose Ox je 10. Najděte bod A.

Řešení.

Z formulace problémových podmínek vyplývá, že pořadnice bodu A je rovna nule a AB = 10.

Úsečku bodu A označíme a, zapíšeme A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Dostaneme rovnici √((a + 5) 2 + 36) = 10. Když to zjednodušíme, máme

a 2 + 10a – 39 = 0.

Kořeny této rovnice jsou a 1 = -13; a 2 = 3.

Získáme dva body A 1 (-13; 0) a A 2 (3; 0).

Zkouška:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Oba získané body jsou vhodné podle podmínek problému (obr. 3).

4. Výpočet úsečky (ordináty) bodu, který leží na ose úsečky a leží na stejnou vzdálenost ze dvou daných bodů

Příklad 4.

Najděte bod na ose Oy, který je ve stejné vzdálenosti od bodů A (6, 12) a B (-8, 10).

Řešení.

Nechť souřadnice bodu požadované podmínkami úlohy, ležícího na ose Oy, jsou O 1 (0; b) (v bodě ležícím na ose Oy je úsečka nulová). Z podmínky vyplývá, že O 1 A = O 1 B.

Pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zjistíme:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Máme rovnici √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) nebo 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Po zjednodušení dostaneme: b – 4 = 0, b = 4.

Bod O 1 (0; 4) vyžadovaný podmínkami problému (obr. 4).

5. Výpočet souřadnic bodu, který se nachází ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a nějakého daného bodu

Příklad 5.

Najděte bod M umístěný na souřadnicové rovině ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a od bodu A(-2; 1).

Řešení.

Požadovaný bod M se stejně jako bod A(-2; 1) nachází ve druhém souřadnicovém úhlu, protože je stejně vzdálený od bodů A, P 1 a P 2 (obr. 5). Vzdálenosti bodu M od souřadnicových os jsou stejné, proto jeho souřadnice budou (-a; a), kde a > 0.

Z podmínek úlohy vyplývá, že MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

těch. |-a| = a.

Pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zjistíme:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Udělejme rovnici:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Po umocnění a zjednodušení máme: a 2 – 6a + 5 = 0. Řešte rovnici, najděte a 1 = 1; a 2 = 5.

Získáme dva body M 1 (-1; 1) a M 2 (-5; 5), které splňují podmínky úlohy.

6. Výpočet souřadnic bodu, který se nachází ve stejné zadané vzdálenosti od osy úsečky (ordináta) a od daného bodu

Příklad 6.

Najděte bod M takový, aby jeho vzdálenost od souřadnicové osy a od bodu A(8; 6) byla rovna 5.

Řešení.

Z podmínek úlohy vyplývá, že MA = 5 a úsečka bodu M je rovna 5. Nechť je pořadnice bodu M rovna b, pak M(5; b) (obr. 6).

Podle vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) máme:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Udělejme rovnici:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Když to zjednodušíme, dostaneme: b 2 – 12b + 20 = 0. Kořeny této rovnice jsou b 1 = 2; b 2 = 10. V důsledku toho existují dva body, které splňují podmínky úlohy: M 1 (5; 2) a M 2 (5; 10).

Je známo, že mnoho studentů nezávislé rozhodnutí problémy vyžadují neustálé konzultace o technikách a metodách jejich řešení. Žák často nemůže najít způsob, jak vyřešit problém bez pomoci učitele. Potřebné rady k řešení problémů může student získat na našich webových stránkách.

Stále máte otázky? Nevíte, jak zjistit vzdálenost mezi dvěma body v rovině?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Pomocí souřadnic se určí poloha objektu na zeměkouli. Souřadnice jsou označeny zeměpisnou šířkou a délkou. Zeměpisné šířky se měří od rovníku na obou stranách. Na severní polokouli jsou zeměpisné šířky kladné, na jižní polokouli záporné. Zeměpisná délka se měří od nultého poledníku buď na východ nebo na západ, získá se buď východní nebo západní délka.

Podle obecně uznávaného postoje se za nultý poledník považuje ten, který prochází starou Greenwichskou observatoří v Greenwichi. Zeměpisné souřadnice místa lze získat pomocí GPS navigátoru. Toto zařízení přijímá signály satelitní systém polohování v souřadnicovém systému WGS-84, jednotné pro celý svět.

Modely Navigator se liší výrobcem, funkčností a rozhraním. V současné době jsou v některých modelech k dispozici také vestavěné GPS navigace mobilní telefony. Ale každý model může zaznamenat a uložit souřadnice bodu.

Vzdálenost mezi GPS souřadnicemi

Pro řešení praktických i teoretických problémů v některých odvětvích je nutné umět určit vzdálenosti mezi body jejich souřadnicemi. Můžete to udělat několika způsoby. Kanonický reprezentační formulář zeměpisné souřadnice: stupně, minuty, sekundy.

Můžete například určit vzdálenost mezi následujícími souřadnicemi: bod č. 1 - zeměpisná šířka 55°45′07″ N, zeměpisná délka 37°36′56″ V; bod č. 2 - zeměpisná šířka 58°00′02″ s. š., zeměpisná délka 102°39′42″ vd.

Nejjednodušší způsob je pomocí kalkulačky vypočítat délku mezi dvěma body. Ve vyhledávači prohlížeče musíte nastavit následující parametry vyhledávání: online - pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma souřadnicemi. V online kalkulačce se hodnoty zeměpisné šířky a délky zadávají do polí dotazu pro první a druhou souřadnice. Při výpočtu online kalkulačka dala výsledek - 3 800 619 m.

Další metoda je pracnější, ale také vizuálnější. Je nutné použít jakýkoli dostupný kartografický popř navigační program. Mezi programy, ve kterých můžete vytvářet body pomocí souřadnic a měřit vzdálenosti mezi nimi, patří tyto aplikace: BaseCamp (moderní obdoba programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Všechny výše uvedené programy jsou dostupné všem uživatelům sítě. Chcete-li například vypočítat vzdálenost mezi dvěma souřadnicemi v aplikaci Google Earth, musíte vytvořit dva štítky označující souřadnice prvního a druhého bodu. Poté pomocí nástroje „Pravítko“ musíte propojit první a druhou značku čárou, program automaticky zobrazí výsledek měření a zobrazí cestu na satelitním snímku Země.

V případě výše uvedeného příkladu program Google Earth vrátil výsledek - délka vzdálenosti mezi bodem č. 1 a bodem č. 2 je 3 817 353 m.

Proč je chyba při určování vzdálenosti

Všechny výpočty rozsahu mezi souřadnicemi jsou založeny na výpočtu délky oblouku. Poloměr Země se podílí na výpočtu délky oblouku. Ale protože se tvar Země blíží zploštělému elipsoidu, poloměr Země se v určitých bodech mění. Pro výpočet vzdálenosti mezi souřadnicemi se bere průměrná hodnota poloměru Země, která dává chybu v měření. Čím větší je měřená vzdálenost, tím větší je chyba.

V tomto článku se podíváme na způsoby, jak určit vzdálenost z bodu do bodu teoreticky a na příkladu konkrétních problémů. Pro začátek si uveďme několik definic.

Definice 1

Vzdálenost mezi body je délka segmentu, který je spojuje, ve stávajícím měřítku. Je nutné nastavit měřítko, abychom měli jednotku délky pro měření. Proto je v zásadě problém zjištění vzdálenosti mezi body vyřešen použitím jejich souřadnic na souřadnicové čáře, v souřadnicové rovině nebo trojrozměrném prostoru.

Počáteční údaje: souřadnicová přímka O x a na ní ležící libovolný bod A Každý bod na přímce má jedno reálné číslo: nechť je to určité číslo pro bod A x A, je to také souřadnice bodu A.

Obecně lze říci, že délka určitého segmentu se posuzuje ve srovnání s segmentem braným jako jednotka délky na daném měřítku.

Pokud bod A odpovídá celému reálnému číslu, postupným odkládáním z bodu O do bodu podél přímky O A segmenty - jednotky délky, můžeme určit délku segmentu O A z celkového počtu vyčleněných jednotkových segmentů.

Například bod A odpovídá číslu 3 - abyste se k němu dostali z bodu O, budete muset propustit tři segmenty jednotky. Pokud má bod A souřadnici - 4, segmenty jednotek jsou rozmístěny podobným způsobem, ale v jiném záporném směru. V prvním případě je tedy vzdálenost O A rovna 3; ve druhém případě O A = 4.

Pokud má bod A racionální číslo jako souřadnici, pak z počátku (bod O) vyneseme celočíselný počet jednotkových segmentů a poté jeho nezbytnou část. Ale geometricky není vždy možné provést měření. Zdá se například obtížné vykreslit zlomek 4 111 na souřadnici.

Pomocí výše uvedené metody je zcela nemožné vykreslit iracionální číslo na přímce. Například, když je souřadnice bodu A 11. V tomto případě je možné přejít k abstrakci: pokud je daná souřadnice bodu A větší než nula, pak O A = x A (číslo se bere jako vzdálenost); pokud je souřadnice menší než nula, pak O A = - x A . Obecně platí, že tato tvrzení platí pro jakékoli reálné číslo x A.

Abychom to shrnuli: vzdálenost od počátku k bodu, který odpovídá reálnému číslu na souřadnicové čáře, se rovná:

0, pokud se bod shoduje s počátkem;

x A, pokud x A > 0;

- x A, pokud x A< 0 .

V tomto případě je zřejmé, že délka samotného segmentu nemůže být záporná, proto pomocí znaménka modulu zapíšeme vzdálenost z bodu O do bodu A se souřadnicí xA: O A = x A

Následující tvrzení bude pravdivé: vzdálenost od jednoho bodu k druhému se bude rovnat modulu rozdílu souřadnic. Tito. pro body A a B ležící na stejné souřadnicové čáře pro libovolné místo a mající odpovídající souřadnice xA A x B: A B = x B - x A.

Výchozí údaje: body A a B ležící v rovině v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y s danými souřadnicemi: A (x A, y A) a B (x B, y B).

Nakreslete kolmice přes body A a B k souřadnicovým osám O x a O y a získáme jako výsledek promítací body: A x, A y, B x, B y. Na základě umístění bodů A a B jsou pak možné následující možnosti:

Pokud se body A a B shodují, pak je vzdálenost mezi nimi nulová;

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose O x (osa úsečky), pak se body shodují a | A B | = | A y B y | . Protože vzdálenost mezi body je rovna modulu rozdílu jejich souřadnic, pak A y B y = y B - y A, a tedy A B = A y B y = y B - y A.

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose O y (osa pořadnice) - analogicky s předchozím odstavcem: A B = A x B x = x B - x A

Pokud body A a B neleží na přímce kolmé k jedné ze souřadnicových os, zjistíme vzdálenost mezi nimi odvozením vzorce pro výpočet:

Vidíme, že trojúhelník A B C má obdélníkovou konstrukci. V tomto případě A C = A x B x a B C = A y By. Pomocí Pythagorovy věty vytvoříme rovnost: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 a poté ji transformujeme: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Udělejme závěr ze získaného výsledku: vzdálenost z bodu A do bodu B v rovině je určena výpočtem pomocí vzorce pomocí souřadnic těchto bodů

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Výsledný vzorec také potvrzuje dříve vytvořená tvrzení pro případy shody bodů nebo situace, kdy body leží na přímkách kolmých k osám. Pokud se tedy body A a B shodují, bude platit rovnost: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pro situaci, kdy body A a B leží na přímce kolmé k ose x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pro případ, kdy body A a B leží na přímce kolmé k ose pořadnice:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Počáteční údaje: pravoúhlý souřadnicový systém O x y z s libovolnými body ležícími na něm s danými souřadnicemi A (x A, y A, z A) a B (x B, y B, z B). Je nutné určit vzdálenost mezi těmito body.

Uvažujme obecný případ, kdy body A a B neleží v rovině rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin. Nakreslete roviny kolmé k souřadnicovým osám body A a B a získáme odpovídající promítací body: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Vzdálenost mezi body A a B je úhlopříčka výsledného rovnoběžnostěnu. Podle konstrukce měření tohoto rovnoběžnostěnu: A x B x , A y B y a A z B z

Z průběhu geometrie víme, že druhá mocnina úhlopříčky kvádru je rovna součtu čtverců jeho rozměrů. Na základě tohoto tvrzení získáme rovnost: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Na základě dříve získaných závěrů píšeme následující:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Převedeme výraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finále vzorec pro určení vzdálenosti mezi body v prostoru bude vypadat takto:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Výsledný vzorec platí také pro případy, kdy:

Body se shodují;

Leží na jedné souřadnicové ose nebo přímce rovnoběžné s jednou ze souřadnicových os.

Příklady řešení úloh na hledání vzdálenosti mezi body

Příklad 1

Počáteční údaje: je uvedena souřadnicová čára a na ní ležící body s danými souřadnicemi A (1 - 2) a B (11 + 2). Je nutné najít vzdálenost od výchozího bodu O k bodu A a mezi body A a B.

Řešení

Vzdálenost od referenčního bodu k bodu je rovna modulu souřadnice tohoto bodu, respektive O A = 1 - 2 = 2 - 1
Vzdálenost mezi body A a B definujeme jako modul rozdílu souřadnic těchto bodů: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odpověď: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Příklad 2

Výchozí údaje: je uveden pravoúhlý souřadnicový systém a dva body na něm ležící A (1, - 1) a B (λ + 1, 3). λ je nějaké reálné číslo. Je nutné najít všechny hodnoty tohoto čísla, při kterých bude vzdálenost A B rovna 5.

Řešení

Chcete-li zjistit vzdálenost mezi body A a B, musíte použít vzorec A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Dosazením reálných hodnot souřadnic dostaneme: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Použijeme také existující podmínku, že A B = 5 a pak bude rovnost pravdivá:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odpověď: A B = 5, pokud λ = ± 3.

Příklad 3

Výchozí údaje: v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y z je specifikován trojrozměrný prostor a v něm ležící body A (1, 2, 3) a B - 7, - 2, 4.

Řešení

K vyřešení úlohy použijeme vzorec A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dosazením reálných hodnot dostaneme: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odpověď: | A B | = 9

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Věta 1. Pro libovolné dva body a rovinu je vzdálenost mezi nimi vyjádřena vzorcem:

Pokud jsou například uvedeny body a, pak vzdálenost mezi nimi je:

2. Oblast trojúhelníku.

Věta 2. Za jakékoli body

neleží na stejné přímce, plocha trojúhelníku je vyjádřena vzorcem:

Například najdeme oblast trojúhelníku tvořeného body a.

Komentář. Pokud je plocha trojúhelníku nula, znamená to, že body leží na stejné čáře.

3. Dělení segmentu v daném poměru.

Nechť je na rovině uveden libovolný segment a nechť

– jakýkoli bod tohoto segmentu jiný než koncové body. Zavolá se číslo definované rovností postoj, ve kterém bod rozděluje segment.

Problém dělení segmentu v daném vztahu je: pro daný vztah a dané souřadnice bodů

a zjistěte souřadnice bodu.

Věta 3. Pokud bod rozděluje segment ohledně

, pak souřadnice tohoto bodu jsou určeny vzorcem: (1.3), kde jsou souřadnice bodu a jsou souřadnice bodu.

Následek: If je střed segmentu

, kde a, pak (1.4) (od).

Například. Body a jsou uvedeny. Najděte souřadnice bodu, který je dvakrát blíže než k

Řešení: Požadovaný bod rozděluje segment

ve vztahu k od , Pak ,, přijato

Polární souřadnice

Po pravoúhlém souřadnicovém systému je nejdůležitější polární souřadnicový systém. Skládá se z určitého bodu tzv pól a paprsek z něj vycházející - polární osa. Navíc je nastavena jednotka měřítka pro měření délek segmentů.

Nechť je dán polární souřadnicový systém a nechť je libovolný bod v rovině. Nechť je vzdálenost od bodu

do bodu – úhel, o který se musí polární osa otočit, aby se srovnala s paprskem.

Polární souřadnice bodu se nazývají čísla. V tomto případě je číslo považováno za první souřadnici a je voláno polární poloměr, číslo je druhá souřadnice a volá se polární úhel.

Označeno . Polární poloměr může mít libovolnou nezápornou hodnotu:. Obvykle se má za to, že polární úhel se mění v následujících mezích:. V některých případech je však nutné určit úhly měřené od polární osy ve směru hodinových ručiček.

Vztah mezi polárními souřadnicemi bodu a jeho pravoúhlými souřadnicemi.

Budeme předpokládat, že počátek pravoúhlého souřadnicového systému je na pólu a kladná poloosa úsečky se shoduje s polární osou.

Nechť – v pravoúhlém souřadném systému a – v polárním souřadném systému. Definováno – pravoúhlý trojúhelník c. Poté (1.5). Tyto vzorce vyjadřují pravoúhlé souřadnice z hlediska polárních.

Na druhou stranu, podle Pythagorovy věty a

(1.6) – tyto vzorce vyjadřují polární souřadnice prostřednictvím pravoúhlých.

Všimněte si, že vzorec definuje dvě hodnoty polárního úhlu, protože. Z těchto dvou hodnot úhlu vyberte ten, při kterém jsou splněny rovnosti.

Najdeme například polární souřadnice bodu ..nebo, protože já čtvrtinu.

Příklad 1: Najděte bod symetrický k bodu

Relativní k sečině prvního úhlu souřadnic.

Řešení:

Pojďme nakreslit bod Ařídit l 1, kolmo k ose l první úhel souřadnic. Nechte Na přímce l 1 odložte segment SA 1 , rovný segmentu AC. Pravé trojúhelníky ASO A A 1 CO sobě rovné (na dvou stranách). Z toho vyplývá, že | OA| = |O.A. 1 |. Trojúhelníky ADO A OEA 1 jsou si také rovny (přeponou a ostrým úhlem). Z toho vyvozujeme |AD| = |OE| = 4,|OD| = |EA 1 | = 2, tzn. bod má souřadnice x = 4, y = -2, těch. A 1 (4;-2).

Všimněte si, že existuje obecné tvrzení: bod A 1, do bodu symetrický vzhledem k ose prvního a třetího souřadnicového úhlu, má souřadnice, tzn .

Příklad 2: Najděte bod, ve kterém přímka procházející body a , bude protínat osu Ó.

Řešení:

Souřadnice požadovaného bodu S Existuje ( x; 0). A od bodů A,V A S leží na stejné přímce, pak musí být podmínka splněna (x 2 -x 1 ) (y 3 -y 1 )-(x 3 -x 1 ) (y 2 -y 1 ) = 0 (vzorec (1.2), plocha trojúhelníku ABC rovno nule!), kde jsou souřadnice bodu A, – bodů V, – bodů S. Dostáváme, tj. , . Proto bod S má souřadnice, tj.