هنجار یک عملگر خطی و تابعی. عملگرها و توابع خطی در فضاهای هنجاردار

مقدمه

§1. تعریف عملگر خطی نمونه ها

§2. عملگرهای خطی پیوسته در فضای عادی مرز و هنجار یک عملگر خطی

§3. عملگر معکوس طیف اپراتور و حلال

§4. عملگر ضرب برای یک تابع پیوسته

§5. اپراتور یکپارچه سازی

§6. عملگر تمایز

§7. اپراتور شیفت

نتیجه گیری

مقدمه

در دسترس ترین محیط برای مطالعه عملگرهایی که در فضاهای خطی نرمال عمل می کنند، عملگرهای خطی هستند. آنها یک کلاس نسبتاً مهم از عملگرها را نشان می دهند، زیرا عملگرهای جبری و تحلیلی را می توان در بین آنها یافت.

هدف پایان نامهنشان دادن برخی از عملگرهای خطی، بررسی پیوستگی و مرزبندی آنها، یافتن هنجار عملگر محدود و همچنین طیف عملگر و حلال آن است.

پاراگراف اول و دوم اطلاعات پایه ای را در مورد نظریه عملگرها ارائه می دهد: تعریف عملگر خطی، پیوستگی و مرزبندی یک عملگر خطی، هنجار آن. چند نمونه در نظر گرفته شده است.

بند سوم تعاریف را ارائه می کند عملگر معکوس، طیف اپراتور و حلال آن. نمونه هایی در نظر گرفته شده است.

بخش چهارم عملگر ضرب را با یک تابع پیوسته بررسی می کند: Ax(t) = g(t)x(t).

پاراگراف پنجم مثالی از عملگر یکپارچه سازی Аf(t)= می دهد

.

بخش هفتم عملگر شیفت Af(x) = f(x+a) را بررسی می کند.

خطی بودن، پیوستگی، مرزبندی نشان داده شده است، هنجار، نقاط طیف و حلال هر سه عملگر یافت می شود.

در بخش ششم عملگر تمایز Df(x)=f / (x)، در فضای توابع متمایز D [a, b] را مطالعه می کنیم. خطی بودن آن نشان داده شده است. ثابت شده است که D یک عملگر پیوسته نیست و همچنین چگونه نامحدود بودن عملگر بر ناپیوستگی آن دلالت دارد.

§1. تعریف عملگر خطی نمونه ها

تعریف 1.فرض کنید E x و E y فضاهای خطی روی میدان اعداد مختلط (یا واقعی) باشند. نقشه برداری A: E x ® E y نامیده می شود عملگر خطی ، اگر برای هر عنصر x 1 و x 2 فضای E x و هر عدد مختلط (واقعی) باشد

برابری های زیر برقرار است:

1. A(x 1 + x 2) = تبر 1 + تبر 2;

x) = A(x);

نمونه هایی از عملگرهای خطی:

1) اجازه دهید E = E 1 یک فضای توپولوژیکی خطی باشد. عملگر A با فرمول ارائه می شود:

تبر = x برای همه x

E.

چنین عملگری که هر عنصر از فضا را در خود می گیرد خطی است و عملگر واحد نامیده می شود.

2) D [a, b] را در نظر بگیرید - فضای توابع قابل تمایز، عملگر تمایز D در فضای D [a, b] با فرمول داده می شود:

Дf(x) = f / (x).

D، f/(x)C.

عملگر D در کل فضای C [a, b] تعریف نمی شود، بلکه فقط روی مجموعه ای از توابع که مشتق پیوسته دارند تعریف می شود. خطی بودن آن به وضوح از ویژگی های مشتق ناشی می شود.

3) فضای C را در نظر بگیرید [-

, +] – فضای توابع پیوسته و محدود، عملگر A تابع را بر اساس a تغییر می دهد:

Аf(x) = f(x+a).

بیایید خطی بودن عملگر A را بررسی کنیم:

1) A(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) =A(f) +A(g).

بر اساس تعریف مجموع یک تابع، اصل جمع پذیری برآورده می شود.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

اصل همگنی درست است.

می توان نتیجه گرفت که A یک عملگر خطی است.

(فضای توابع پیوسته روی بازه، و با توجه به نگاشت 1، با فرمول:

از آنجایی که یک انتگرال با حد بالایی متغیر یک تابع پیوسته یک تابع متمایزپذیر است و بنابراین پیوسته است، پس

. به دلیل خطی بودن انتگرال معین، این نگاشت یک عملگر خطی است.

§2. عملگرهای خطی پیوسته در حالت عادی

فضا مرز و هنجار یک عملگر خطی

، فضاهای هنجاری هستند.

تعریف 2.اپراتور A: E

E 1 نامیده می شود مستمر در نقطه، اگر دنباله x n x 0 هر چه باشد، A(xn) به A(x 0) همگرا می شود. یعنی برای p (x n، x 0) 0، p (A (x n)، A (x 0)) 0.

تعریف دیگری (معادل) از پیوستگی عملگر خطی نیز شناخته شده است.

تعریف 3.نگاشت A نامیده می شود مستمر در نقطه x 0، اگر همسایگی U نقطه y 0 = A (x 0) هر چه باشد، می توانیم یک همسایگی V نقطه x 0 را نشان دهیم به طوری که A(V)

U. > 0 > 0 که به محض p (x, x 0)< , p (f(x), f(x 0)) < .

قضیه 1.

اگر یک عملگر خطی در نقطه x 0 = 0 پیوسته باشد، در هر نقطه دیگری از این فضا پیوسته است.

اثباتعملگر خطی A در نقطه x 0 = 0 اگر و فقط اگر پیوسته است

. اجازه دهید عملگر A در نقطه x 0 = 0 پیوسته باشد. بیایید دنباله ای از نقاط را در فضای x n ®x 1، سپس x n – x 1 ®0، از این رو A(x n – x 1)®A(0)=0، یعنی A(xn – x 1)®0 در نظر بگیریم.

از آنجایی که A یک عملگر خطی است، A(x n – x 1)®Ax n – Ax 0 و سپس

اندازه: px

شروع نمایش از صفحه:

رونوشت

1 کار آزمایشگاهی 9 اپراتور خطی و عملکرد در فضاهای نرمال شده. هنجار عملگر خطی و عملکردی. مفاهیم و نظریه های اساسی تعریف. بگذارید هر دو فضاهای برداری روی یک فیلد (=R یا C) باشند. نقشه برداری: با دامنه D() و دامنه R() یک عملگر خطی از تا، در صورت وجود، y و:) (y) y (افزایش)؛) () (همگنی) نامیده می شود. اجازه دهید مجموعه تمام عملگرهای خطی از تا را با (،) نشان دهیم که دامنه آنها با E منطبق است. For, (,) و عملگرها (,) را با فرمول تعریف می کنیم: def def () ;(). سپس (,) به یک فضای برداری تبدیل می شود. در حالت خاصی که (فیلد یک فضای برداری است!)، عناصر (,) تابع خطی نامیده می شوند. حال اجازه دهید هنجارهای i (i،) روی i، یعنی فضاهای هنجاردار (,Norm) تعریف شوند. تعریف. عملگر (,) یک عملگر محدود از به نامیده می شود اگر یک c ثابت وجود داشته باشد به طوری که برای هر تساوی c برقرار باشد. تعریف. هنجار عملگر (,) عدد def sup است. می توان ج را از تعریف نشان داد. infimum مجموعه همه ثابت ها است

قضیه 2. اجازه دهید (،)، کجا، هنجار. سپس عبارات زیر معادل هستند:) عملگر یک عملگر پیوسته از تا؛) عملگر یک عملگر محدود شده از تا؛). اجازه دهید، (،)، کجا، هنجار. نسبت ها منصفانه است :) ;) ;) . بنابراین، اگر عملگرها محدود باشند، اپراتورها نیز محدود هستند. در نتیجه، اگر مجموعه تمام عملگرهای محدود خطی را با L(,) نشان دهیم، L(,) یک زیرفضای برداری (,) است. قضیه است. اگر Norm و Banach (Ba)، سپس L(،) Ba. همه موارد فوق در مورد عملکرد نیز صدق می کند. در این مورد، هنجار روشن است، بنابراین اگر یک c ثابت وجود داشته باشد که f ()c برای هر یک وجود داشته باشد، تابع f (،) به Norm محدود می شود. سپس هنجار تابع f عدد def f sup f () است اگر c:, f ()c. از آنجا که Ba، پس با قضیه L(،) Ba. تعریف. فضای Banach L(،)، متشکل از تابع‌های محدود خطی روی، با * نشان داده می‌شود و فضای مزدوج را به E می‌نامند. ادبیات: صفحات 9-56; صص 8-5; وظایف صفحه

3. بگذار باشد، هنجار. محدوده عملگر def D(): را پیدا کنید و تعیین کنید که آیا مطابقت دارد یا خیر. اگر D() Norm است، پس دریابید که آیا عملگر یک عملگر محدود خطی از D() تا است؟ E. l c. c l. L [،] L [،] ()(t) t (s). L [،] L [،] ()(t) (t).5 L [،] L [،] ()(t) (t).6 C[،] C[،] ()(t) ( t).7 C[،] C () [،] ()(t) (t).8 C () [،] C[،] ()(t) (t).9 c R. l l،. ... l l،.... L [-،] L [-،] ()(t) (5 t). C[،] R ()(t) () (). L [-،] L [-،] ()(t) t (s).5 L `[،] L [،] ()(t) (t) حل مسئله.5. اجازه دهید D() L [, ] : L[, ] دامنه تعریف عملگر را پیدا کنیم. از آنجایی که 8 (t) (t)، سپس D(A)=L L (, ] 8 [,] L [,]. بنابراین، دامنه تعریف عملگر با فضای نرمال شده [, ] [, ] L 8 منطبق است. [,]، متفاوت از نسخه اصلی، بیایید خطی بودن D() را بررسی کنیم: (t) y(t) L 8 [,]، سپس.

4 (y)y. بنابراین، عملگر روی D() خطی نیست و بنابراین محدود است. -5. آیا این فرمول یک عملگر محدود خطی را تعریف می کند:؟ اگر عملگر محدود است، عملگر ضرب آن را پیدا کنید. C[،] C[،] ()(t) (t t) (t). C[-،] C[،] ()(t) (t t) (t). L [،] L [،] ()(t) t (t). L [،] L [،] ()(t) (t t) (t).5 L [-،] L [-،] ()(t) t (t).6 L [-،] L [, ] ()(t) t(t).7 L [،] L [،] ()(t) (t) (t).8 C[-،] C[،] ()(t) (t t) (t).9 L [-،] L [-،] ()(t) t (t). C () [-،] C[،] ()(t) si t(t). L [،] L [،] ()(t) t(t). C[-،] C[-،] ()(t) (t) (t)، t [، [ (t t) (t)، t [،]. C[،] L [،] ()(t) t (t) t(t)، t [،]. L [-،] L [-،] ()(t)، t [، [حل مسئله.. دامنه تعریف عملگر D() L [-،] (محصول (t) توسط یک پیوسته تابع این محصول را از L[-،] "استنتاج" نمی کند). خطی بودن عملگر واضح است. از آنجایی که برای L [-،]

5 L t t t [, ] () () L (, ]، در تعریف به صورت c ثابت محدود می شود، می توانیم c= را بگیریم. بنابراین، عملگر و. بگذارید (t) (t).سپس L [, ] [, ] و sup sup t = sup t sup عملگر جایگزینی C[,] C[,] ()(t) C[-,] C[,] ()(t) است. t t) (t) L [,] L [,] (t) L [,] L [,] (t) (t).5 L [-,] L [-). ,] ()(t) (t).6 L [-،] L [,] ()(t) t (t).7 L [-،] L [-،] ()(t) (t) .8 C[،] C[،] ()(t) (t) t(t).9 L [،] L [،] ()(t) L [-،] L [،] () (t) t (t)

6. L [،] L [،] ()(t) t(t). L [-،] L [،] ()(t) t (t) حل مسئله.. اجازه دهید L [-،]. سپس t (t) L [، ] u t du t t u = du (u) (u) (u) (u) du u (u) du L [، ]. از آخرین رابطه نتیجه می شود که D() L [-،]. واضح است که عملگر خطی است و از نابرابری اثبات شده نتیجه می شود که A محدود است و. دنباله توابع (t) (t) L [، ]، را در نظر بگیرید. سپس [, ] L [, ] sup L [, ] sup sup (u) du L[, ] L [, ] sup 5 بنابراین 5 sup 5 5!. با در نظر گرفتن موارد قبلی، عملگرهایی در فاصله های ترتیبی l l (،...) 5 داریم.

7. l l (،...). ج ج (،...،...). l l,....5 l l,....6 l l,....7 l l,...,....8 c c,...,....9 c si c,... , si,.... l l (,...). l c,.... l l,.... l c (,...). l l،... که در آن M، N راه حل مسئله.. از آنجایی که برای l sup sup، پس D() l و خطی بودن عملگر را می توان بدون مشکل بررسی کرد. از این رو ما sup I داریم. به موجب تعریف برتری، زیرا چیزی وجود دارد که I. سپس برای l (،...،...) l، l و sup l I. عبور در آخرین نابرابری به محدود کردن در I sup , i.e. sup 5. عملگر انتگرال 6 می شود

8 5. L [،] L [،] ()(t) t s(s) 5. L [،] L [،] ()(t) (t) s(s) 5. C[،] L [ ,] ()(t) (t s) (s) 5. L [،] C[-،] ()(t) ts (s) 5.5 L [،] l t(t)،...، t (t )، L [،] l t(t)،...، t (t)، L [،] L [-،] ()(t) t s(s) 5.8 C[-،] L [،] () (t) tsig s(s) 5.9 L [،] L [،] ()(t) t s (s) 5. L [،] L [،] ()(t) (t) s (s) 5. C[،] L [،] ()(t) sig(s) (s) t() 5. L [-،] L [،] ()(t) (t) s (s) 5. C[ ,] C[،] ()(t) (t s) (s) 5. L [،] l t(t)،...، t (t)،... 7

9 حل مسئله 5. L [،] را بگذارید. سپس l t (t) (t) L. [, ] بنابراین D() L [,] و خطی بودن عملگر از خطی بودن انتگرال پیروی می کند. از نابرابری تثبیت شده نیز نتیجه می شود که 8. از طرف دیگر، اگر (t) (t)، آنگاه L, [, ] sup L[, ] l sup l sup t sup () 8. در نتیجه، اجازه دهید Ba، K یا C. آیا این فرمول یک تابع محدود خطی f: را تعریف می کند؟ اگر پاسخ مثبت است، هنجار آن را پیدا کنید. f 6. c С f () lim 6. l R f () 8

10 6. l R 6. c С 6.5 L R 6.6 c R f () f () (i) f () f () 6.7 l С f () 6.8 c R f () l R f () 6. l R f () 6. l С f () i 6. l С f () 6. c R f () lim 6. l С f () حل مسئله 6.. خطی بودن تابع را می توان بدون مشکل بررسی کرد . اجازه دهید l. سپس، با اعمال نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی، خواهیم داشت: l f () () بنابراین D(f) l، تابع f به l محدود می شود و f یک ثابت c است. اجازه دهید نشان دهیم که کوچکترین نابرابری ممکن است (). برای این کار کافی است یک عنصر غیر صفر l را نشان دهیم که برای آن () زنجیره ای از برابری ها می شود. برابری در () ممکن است پس از اعمال نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی نقض شود. اگر * 9 مورد دوم برابری را نقض نمی کند

11 N،. f () * * بگیرید، سپس برای * (،...)، 8. بنابراین، f. 7. L [،] R f () t (t) 7. L [،] C f () i t (t) 7. C[،] R f () () () () 7. C[،] R f () lim (t) 7.5 L [,] C f () t(t) 7.6 L [-،] R f () t (t) 7.7 L [،] R f () t (t) 7.8 L 6 [ ,] R f () t (t) 7.9 C () [,] C f () () i () 7. C () [,] R f () (t) (t) 7. C () [ -،] C f () () 7. C () [،] C f () i() () 7. L [،] R f () t (t) 7. L [،] C f () i t (t) f * و

12 راه حل مسئله 7. خطی بودن تابع از خطی بودن انتگرال ناشی می شود. اجازه دهید L[,]. سپس با تغییر متغیرها در انتگرال و سپس اعمال نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی، f () t (t) u t u t udu u u du u du u du () () را بدست می آوریم. () بنابراین، D(f) l، تابع با f محدود می شود. بیایید * (u) u (چرا؟) را بگیریم، سپس از () * * f () u u du u du داریم. نتیجه این است که ثابت c ممکن است. بنابراین f in () کوچکترین گزینه از همه گزینه ها است.

13 گزينه گزينه گزينه گزينه گزينه گزينه گزينه گزينه و تمرينات اضافى ثابت كنيد كه تابعى f: (t) (t) R (t) C () [,] پيوسته است. 5. ثابت کنید که تابع f: (t) (t) R خطی و نامحدود در زیر فضای خطی C () [،] فضای نرمال C[,] است. 6. در l عملگر (......) (......) را در نظر بگیرید. برای چه شرایطی با l محدود می شود؟ هنجارش را پیدا کنید. 7. فرض کنید عملگر ضرب توسط یک تابع قابل اندازه گیری محدود a() باشد که در فضای L p (,) عمل می کند. ثابت کنید که محدود است و هنجار آن را پیدا کنید. 8. هنجار عملگر هویت را که از Lp[a, b] تا Lq[a, b] برای p q عمل می‌کند، بیابید.

طیف کار آزمایشگاهی اپراتور. مفاهیم و قضایای اساسی اجازه دهید: یک عملگر خطی محدود در فضای Banach بر روی یک میدان. ج. تعریف. نقطه C منظم نامیده می شود

1 توابع بر روی یک بازه پیوسته هستند (قضیه های بولزانو کوشی، وایرشتراس، کانتور). عملکرد در کامپکت پیوسته است. 1.1 قضیه روی مقادیر میانی قضیه 1. (بولزانو کوشی) اجازه دهید تابع f در بازه پیوسته باشد و f(a) f(b). سپس برای هر عدد C موجود بین f(a) و f(b) یک نقطه γ (a, b) وجود دارد به طوری که f(γ) = C. اثبات. برای مثال، f(a) = A را فرض کنید< B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на . Кроме того, g(a) < 0, g(b) >0. برای اثبات قضیه کافی است نشان دهیم که یک نقطه γ (a, b) وجود دارد به طوری که g(γ) = 0. پاره را بر نقطه x 0 به دو قسمت با طول مساوی تقسیم کنید، سپس یکی از آنها g (x 0) = 0 و این بدان معنی است که نقطه مورد نظر γ = x 0 یا g(x 0) 0 پیدا شده است و سپس در انتهای یکی از فواصل حاصل، تابع g مقادیر متفاوتی می گیرد. نشانه ها، به طور دقیق تر، در انتهای چپ مقدار کمتر از صفر است، در سمت راست - بیشتر است. بیایید این بخش را مشخص کرده و دوباره آن را به دو قسمت با طول مساوی و غیره تقسیم کنیم. در نتیجه، یا پس از تعداد محدودی از مراحل، به نقطه γ مورد نظر می رسیم، که در آن g(γ) = 0، یا دنباله ای از قطعات تودرتو در طول طول به سمت صفر و به گونه ای به دست می آوریم که g(a n)< 0 < g(b n) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков , n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n) = lim g(b n) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n) 0 lim g(b n) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0) = β (f(x 0) = α). 1

کار آزمایشگاهی قضیه فوبینی. SPACES Lp, I. مفاهیم و قضایای اساسی تعریف. بگذارید Y هر دو مجموعه باشد و Y معیارهای تعریف شده بر روی semirings S و S زیر مجموعه های Y از مجموعه ها و

موضوع 2-11: بردارهای ویژه و مقادیر ویژه A علوم کامپیوترگروه جبر و ریاضیات گسسته جبر و هندسه

Siberian Mathematical Journal November, December, 27. Volume 48, 6 UDC 517.53/.57 A NEcessary AND FAFICIENT FOR THE EXTREME Functions OF A LINEAR FUNCTIONAL OVER H 1 V. G. Abstract. در نظر گرفته شده است

دانلود شده از http://antigtu.ru مشکل Kuznetsov Limits 1-22 ثابت کنید که (مشخص کنید). با تعریف حد: اجازه دهید تبدیل ها را انجام دهیم: (*) بدیهی است که حد وجود دارد و برابر با 2 است. از (*) محاسبه آسان است.

نظریه اندازه گیری، سخنرانی 10: اندازه گیری های ارگودیک میشا وربیتسکی 9 مه 2015 NMU 1 عمل ارگودیک یک گروه تعریف: فرض کنید (M, μ) یک فضای اندازه گیری باشد، و اجازه دهید G گروهی باشد که بر روی M عمل می کند و میکرو را حفظ می کند. اقدام

8 پایداری راه حل های سیستم های معادلات دیفرانسیل معمولی روش مستقیم لیاپانوف VDNogin 1 o مقدمه برای طرح مسئله پایداری، داشتن یک شی ضروری است.

28. سیستم بنیادی راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی دانشگاه فدرال اورال، موسسه ریاضیات و علوم کامپیوتر، گروه جبر و ابعاد ریاضیات گسسته

3. فضای خطی.. تعریف فضای خطی. گفته می شود عملیات جمع عناصر در مجموعه R تعریف می شود اگر به هر جفت مرتب شده از عناصر x, y R اختصاص داده شود.

فصل. انتگرال و انتگرال نامناسب بسته به یک پارامتر. انتگرال قطعی f (d) در فصل برای مورد یک بازه محدود [، ] و یک تابع محدود f () معرفی شد. حالا این مفهوم

دانشگاه فدرال اورال، مؤسسه ریاضیات و علوم رایانه، گروه جبر و ریاضیات گسسته نکات مقدماتی این سخنرانی یک ویژگی عددی مهم ماتریس را مطالعه می کند.

جبر برداری M و کاربردهای آن برای دانشجویان کارشناسی و کارشناسی ارشد ریاضی، فیزیک و تخصص های فنی m MG Lyubarsky این کتاب درسی بر اساس سخنرانی هایی در مورد ریاضیات عالی که

9 از آنجایی که MUN = MUN، پس از شمول (*) MUN MUN از دو شمول متضاد برابری MUN = MUN به دست می‌آید، که برای اثبات آن لازم بود قضیه زیر (Kuratowski) صادق است

ماتریس های باند محدب و قطعیت مثبت آنها * V. N. RAZZHEVAIKIN چکیده. یک قضیه در مورد قطعیت مثبت ماتریس های باند که به طور گسترده در مسائل ریاضی استفاده می شود اثبات شده است.