Tu budeme pokračovať v téme operácií s maticami začatej v prvej časti a pozrieme sa na pár príkladov, v ktorých bude potrebné použiť niekoľko operácií naraz.

Pozdvihnutie matrixu na moc.

Nech k je nezáporné celé číslo. Pre akúkoľvek štvorcovú maticu $A_(n\krát n)$ máme: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; krát) $$

V tomto prípade predpokladáme, že $A^0=E$, kde $E$ je matica identity zodpovedajúceho poriadku.

Príklad č.4

Daná je matica $ A=\left(\začiatok(pole) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(pole) \right)$. Nájdite matice $A^2$ a $A^6$.

Podľa definície $A^2=A\cdot A$, t.j. na nájdenie $A^2$ stačí vynásobiť maticu $A$ samú. O operácii násobenia matíc sme hovorili v prvej časti témy, takže tu jednoducho napíšeme postup riešenia bez podrobného vysvetlenia:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\začiatok(pole) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(pole) \right)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(pole) \right )= \left(\začiatok(pole) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(pole) \vpravo). $$

Na nájdenie matice $A^6$ máme dve možnosti. Možnosť jedna: je triviálne pokračovať v násobení $A^2$ maticou $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Môžete sa však vydať o niečo jednoduchšou cestou pomocou vlastnosti asociatívnosti násobenia matíc. Umiestnime zátvorky do výrazu pre $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Ak by riešenie prvej metódy vyžadovalo štyri operácie násobenia, potom by druhá metóda vyžadovala iba dve. Preto poďme na druhý spôsob:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\začiatok(pole) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \koniec(pole) \vpravo)\ cdot \left(\begin(pole) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(pole) \right)\cdot \left(\begin(pole) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(pole) \right)=\\= \left(\začiatok(pole) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(pole) \right)\cdot \left(\ begin(pole) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( pole) \right)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(pole) \right). $$

Odpoveď: $A^2=\left(\začiatok(pole) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(pole) \right)$, $A^6=\left(\začiatok(pole) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(pole) \right)$.

Príklad č.5

Dané matice $ A=\left(\začiatok(pole) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(pole) \right)$, $ B=\left(\začiatok(pole) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \koniec (pole) \right)$, $ C=\left(\začiatok(pole) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(pole) \ vpravo) $. Nájdite maticu $D=2AB-3C^T+7E$.

Začneme počítať maticu $D$ nájdením výsledku súčinu $AB$. Matice $A$ a $B$ je možné násobiť, keďže počet stĺpcov matice $A$ sa rovná počtu riadkov matice $B$. Označme $F=AB$. V tomto prípade bude mať matica $F$ tri stĺpce a tri riadky, t.j. bude štvorcový (ak sa vám tento záver nezdá zrejmý, pozrite si popis násobenia matíc v prvej časti tejto témy). Poďme nájsť maticu $F$ výpočtom všetkých jej prvkov:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(pole) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(pole) \right)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ koniec(pole) \vpravo)\\ \začiatok(zarovnané) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cbodka 1+0\cbodka (-1)+(-1)\cbodka (-2)+2\cbodka 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(zarovnané) $$

Takže $F=\left(\begin(pole) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(pole) \right)$. Poďme ďalej. Matica $C^T$ je transponovaná matica pre maticu $C$, t.j. $ C^T=\left(\začiatok(pole) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(pole) \vpravo) $. Čo sa týka matice $E$, ide o maticu identity. V tomto prípade je poradie tejto matice tri, t.j. $E=\left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(pole) \right)$.

V zásade môžeme pokračovať krok za krokom, ale je lepšie zvážiť zostávajúci výraz ako celok bez toho, aby sme sa rozptyľovali pomocnými akciami. V skutočnosti nám ostali len operácie násobenia matíc číslom, ako aj operácie sčítania a odčítania.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(pole) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ koniec(pole) \right)-3\cdot \left(\začiatok(pole) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(pole) \ vpravo)+7\cdot \left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(pole) \right) $$

Vynásobme matice na pravej strane rovnosti príslušnými číslami (t. j. 2, 3 a 7):

$$ 2\cdot \left(\začiatok(pole) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(pole) \right)-3\ cdot \left(\begin(pole) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(pole) \right)+7\cdot \left(\ begin(pole) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(pole) \right)-\left(\začiatok(pole) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(pole) \right)+\left(\začiatok(pole) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 a 7 \koniec (pole) \vpravo) $$

Vykonajte posledné kroky: odčítanie a sčítanie:

$$ \left(\začiatok(pole) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(pole) \right)-\left(\začiatok (pole) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(pole) \right)+\left(\begin(pole) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(pole) \right)=\\ =\left(\začiatok(pole) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \koniec(pole) \vpravo). $$

Problém vyriešený, $D=\left(\začiatok(pole) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(pole) \right)$ .

Odpoveď: $D=\left(\začiatok(pole) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(pole) \vpravo)$.

Príklad č.6

Nech $f(x)=2x^2+3x-9$ a matica $ A=\left(\begin(pole) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(pole) \right) $. Nájdite hodnotu $f(A)$.

Ak $f(x)=2x^2+3x-9$, potom $f(A)$ sa chápe ako matica:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Takto je definovaný polynóm z matice. Musíme teda do výrazu $f(A)$ nahradiť maticu $A$ a získať výsledok. Keďže všetky akcie boli podrobne prediskutované skôr, tu jednoducho uvediem riešenie. Ak vám nie je jasný proces vykonania operácie $A^2=A\cdot A$, potom vám odporúčam pozrieť si popis násobenia matíc v prvej časti tejto témy.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\začiatok(pole) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(pole) \right)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(pole) \right)+3 \left(\begin(pole) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(pole) \right)-9\left(\začiatok(pole) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole) \right)=\\ =2 \left( \begin(pole) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(pole) \right)+3 \left(\začiatok(pole) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(pole) \right)-9 \left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(pole) \right)+3 \left(\začiatok(pole) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(pole) \right)-9\left(\begin(pole) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole) \right) =\left(\začiatok(pole) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(pole) \right) +\left(\začiatok(pole) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(pole) \right)-\left(\begin(pole) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(pole) \right)=\left(\začiatok(pole) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(pole) \right). $$

Odpoveď: $f(A)=\left(\začiatok(pole) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \koniec(pole) \vpravo)$.

Treba poznamenať, že na túto operáciu možno použiť iba štvorcové matice. Rovnaký počet riadkov a stĺpcov je predpokladom pre zvýšenie matice na mocninu. Počas výpočtu sa matica sama vynásobí požadovaným počtom krát.

Táto online kalkulačka je určená na vykonávanie operácie zvýšenia matice na mocninu. Vďaka jeho použitiu sa s touto úlohou nielen rýchlo vyrovnáte, ale získate aj jasnú a podrobnú predstavu o priebehu samotného výpočtu. To pomôže lepšie skonsolidovať teoreticky získaný materiál. Keď pred vami uvidíte podrobný algoritmus výpočtu, lepšie pochopíte všetky jeho jemnosti a následne sa budete môcť vyhnúť chybám pri manuálnych výpočtoch. Okrem toho nikdy nezaškodí dvakrát skontrolovať svoje výpočty, a to je tiež najlepšie urobiť tu.

Ak chcete pozdvihnúť maticu na moc online, budete potrebovať niekoľko jednoduchých krokov. Najprv zadajte veľkosť matice kliknutím na ikony „+“ alebo „-“ naľavo od nej. Potom zadajte čísla do poľa matice. Musíte tiež uviesť silu, na ktorú sa matica zvyšuje. A potom už len stačí kliknúť na tlačidlo „Vypočítať“ v spodnej časti poľa. Získaný výsledok bude spoľahlivý a presný, ak pozorne a správne zadáte všetky hodnoty. Spolu s ním vám bude poskytnutý podrobný prepis riešenia.

Matica A -1 sa nazýva inverzná matica vzhľadom na maticu A, ak A*A -1 = E, kde E je matica identity n-tého rádu. Inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice.

Účel služby. Pomocou tejto služby online môžete nájsť algebraické doplnky, transponovanú maticu A T, spojenú maticu a inverznú maticu. Rozhodnutie sa vykonáva priamo na webovej stránke (online) a je bezplatné. Výsledky výpočtu sú prezentované v správe vo formáte Word a Excel (t. j. je možné skontrolovať riešenie). pozri príklad dizajnu.

Inštrukcie. Na získanie riešenia je potrebné špecifikovať rozmer matice. Ďalej vyplňte maticu A v novom dialógovom okne.

Pozri tiež Inverzná matica pomocou Jordano-Gaussovej metódy

Algoritmus na nájdenie inverznej matice

1. Nájdenie transponovanej matice AT .
2. Definícia algebraických doplnkov. Nahraďte každý prvok matice jeho algebraickým doplnkom.
3. Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok výslednej matice je vydelený determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.

Ďalšie Algoritmus na nájdenie inverznej matice podobne ako v predchádzajúcom, až na niektoré kroky: najprv sa vypočítajú algebraické doplnky a potom sa určí príbuzná matica C.

1. Zistite, či je matica štvorcová. Ak nie, potom na to neexistuje inverzná matica.
2. Výpočet determinantu matice A. Ak sa nerovná nule, pokračujeme v riešení, inak inverzná matica neexistuje.
3. Definícia algebraických doplnkov.
4. Vyplnenie zjednocovacej (vzájomnej, adjungovanej) matice C .
5. Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok adjungovanej matice C sa vydelí determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.
6. Vykonajú kontrolu: vynásobia pôvodnú a výslednú maticu. Výsledkom by mala byť matica identity.

Príklad č.1. Maticu napíšeme v tvare:

Algebraické sčítania. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A-1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Ďalší algoritmus na nájdenie inverznej matice

Uveďme ďalšiu schému na nájdenie inverznej matice.

1. Nájdite determinant danej štvorcovej matice A.
2. Ku všetkým prvkom matice A nájdeme algebraické doplnky.
3. Zapisujeme algebraické sčítania riadkových prvkov do stĺpcov (transpozícia).
4. Každý prvok výslednej matice vydelíme determinantom matice A.

Ako vidíme, operáciu transpozície je možné aplikovať tak na začiatku, na pôvodnú maticu, ako aj na konci na výsledné algebraické sčítania.

Špeciálny prípad: Inverzná matica identity E je matica identity E.

Niektoré vlastnosti operácií s maticami.
Maticové výrazy

A teraz bude pokračovanie témy, v ktorej zvážime nielen nový materiál, ale aj vypracujeme operácie s maticami.

Niektoré vlastnosti operácií s maticami

Existuje pomerne veľa vlastností, ktoré sa týkajú operácií s maticami, na tej istej Wikipédii môžete obdivovať usporiadané poradie príslušných pravidiel. V praxi je však veľa vlastností v určitom zmysle „mŕtvych“, pretože len niekoľko z nich sa používa na riešenie skutočných problémov. Mojím cieľom je pozrieť sa na praktickú aplikáciu vlastností na konkrétnych príkladoch a ak potrebujete rigoróznu teóriu, použite iný zdroj informácií.

Pozrime sa na niektoré výnimky z pravidla, ktoré budú potrebné na splnenie praktických úloh.

Ak má štvorcová matica inverzná matica, potom je ich násobenie komutatívne:

Matica identity sa nazýva štvorcová matica, ktorej hlavná uhlopriečka jednotky sú umiestnené a zvyšné prvky sa rovnajú nule. Napríklad: atď.

V čom nasledujúca vlastnosť je pravdivá: ak sa vynásobí ľubovoľná matica ľavá alebo pravá na maticu identity vhodnej veľkosti, výsledkom bude pôvodná matica:

Ako vidíte, prebieha tu aj komutácia násobenia matíc.

Zoberme si nejakú maticu, povedzme, maticu z predchádzajúceho problému: .

Záujemcovia si môžu skontrolovať a uistiť sa, že:

Jednotková matica pre matice je analógom numerickej jednotky pre čísla, čo je zrejmé najmä z práve diskutovaných príkladov.

Komutativita číselného faktora vzhľadom na násobenie matice

Pre matice a reálne čísla platí nasledujúca vlastnosť:

To znamená, že číselný faktor sa môže (a mal by) posunúť dopredu, aby „nezasahoval“ do násobiacich matíc.

Poznámka : všeobecne povedané, formulácia vlastnosti je neúplná - „lambda“ môže byť umiestnená kdekoľvek medzi maticami, dokonca aj na konci. Pravidlo zostáva v platnosti, ak sa násobia tri alebo viac matíc.

Príklad 4

Vypočítajte produkt

Riešenie:

(1) Podľa majetku posunúť číselný faktor dopredu. Samotné matrice nie je možné preskupovať!

(2) – (3) Vykonajte maticové násobenie.

(4) Tu môžete vydeliť každé číslo 10, ale potom sa medzi prvkami matice objavia desatinné zlomky, čo nie je dobré. Všimli sme si však, že všetky čísla v matici sú deliteľné 5, takže každý prvok vynásobíme .

Odpoveď:

Malá šaráda, ktorú musíte vyriešiť sami:

Príklad 5

Vypočítajte, ak

Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

Aká technika je dôležitá pri riešení takýchto príkladov? Poďme zistiť čísla posledný zo všetkých .

K lokomotíve pripojíme ďalší vozeň:

Ako vynásobiť tri matice?

V prvom rade, ČO by malo byť výsledkom vynásobenia troch matíc? Mačka neporodí myš. Ak je násobenie matice možné, výsledkom bude tiež matica. Hmmm, môj učiteľ algebry nevidí, ako vysvetľujem uzavretosť algebraickej štruktúry vo vzťahu k jej prvkom =)

Súčin troch matíc možno vypočítať dvoma spôsobmi:

1) nájdite a potom vynásobte maticou „tse“: ;

2) buď najskôr nájdite a potom vynásobte.

Výsledky sa určite zhodujú a teoreticky táto vlastnosť sa nazýva asociativita násobenia matíc:

Príklad 6

Vynásobte matice dvoma spôsobmi

Algoritmus riešenia dvojkrokový: nájdeme súčin dvoch matíc, potom opäť nájdeme súčin dvoch matíc.

1) Použite vzorec

Akcia jedna:

Druhé dejstvo:

2) Použite vzorec

Akcia jedna:

Druhé dejstvo:

Odpoveď:

Prvé riešenie je, samozrejme, známejšie a štandardnejšie, kde „všetko vyzerá byť v poriadku“. Mimochodom, čo sa týka objednávky. V uvažovanej úlohe často vzniká ilúzia, že hovoríme o nejakých permutáciách matíc. Nie sú tu. Znovu ti to pripomínam všeobecne JE NEMOŽNÉ OBRÁČIŤ MATICE. Takže v druhom odseku v druhom kroku vykonáme násobenie, ale v žiadnom prípade ne. S obyčajnými číslami by takéto číslo fungovalo, ale s maticami nie.

Vlastnosť asociatívneho násobenia platí nielen pre štvorcové, ale aj pre ľubovoľné matice - pokiaľ sú násobené:

Príklad 7

Nájdite súčin troch matíc

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Vo vzorovom riešení sa výpočty vykonávajú dvoma spôsobmi;

Asociatívna vlastnosť násobenia matíc platí aj pre väčší počet faktorov.

Teraz je čas vrátiť sa k silám matíc. Štvorec matice sa zvažuje na samom začiatku a na programe je otázka:

Ako kockovať maticu a vyššie mocniny?

Tieto operácie sú tiež definované len pre štvorcové matice. Na kocku štvorcovej matice musíte vypočítať súčin:

V skutočnosti ide o špeciálny prípad násobenia troch matíc podľa asociatívnej vlastnosti násobenia matíc: . A matica vynásobená sama osebe je druhou mocninou matice:

Tak dostaneme pracovný vzorec:

To znamená, že úloha sa vykonáva v dvoch krokoch: najprv sa musí matica odmocniť a potom sa musí výsledná matica vynásobiť maticou.

Príklad 8

Zostavte maticu do kocky.

Toto je malý problém, ktorý musíte vyriešiť sami.

Zvýšenie matice na štvrtú mocninu sa vykonáva prirodzeným spôsobom:

Pomocou asociativity násobenia matíc odvodíme dva pracovné vzorce. Po prvé: – toto je súčin troch matíc.

1). Inými slovami, najprv nájdeme , potom to vynásobíme „be“ - dostaneme kocku a nakoniec vykonáme násobenie znova - bude štvrtá mocnina.

2) Existuje však riešenie o krok kratšie: . To znamená, že v prvom kroku nájdeme štvorec a obídeme kocku a vykonáme násobenie

Dodatočná úloha pre príklad 8:

Zdvihnite maticu na štvrtú mocninu.

Ako už bolo uvedené, možno to urobiť dvoma spôsobmi:

1) Keďže kocka je známa, vykonáme násobenie.

2) Ak je však podľa podmienok úlohy potrebné zostaviť maticu len do štvrtej mocniny, potom je výhodné cestu skrátiť - nájsť druhú mocninu matice a použiť vzorec.

Obe riešenia aj odpoveď sú na konci lekcie.

Podobne je matica povýšená na piatu a vyššiu mocninu. Z praktických skúseností môžem povedať, že niekedy sa stretávam s príkladmi zvyšovania na 4. mocninu, ale na piatu si nič nepamätám. Ale pre každý prípad uvediem optimálny algoritmus:

1) nájsť;
2) nájsť;
3) zdvihnite maticu na piatu mocninu: .

To sú snáď všetky základné vlastnosti maticových operácií, ktoré môžu byť užitočné pri praktických problémoch.

V druhej časti lekcie sa očakáva rovnako pestrý dav.

Maticové výrazy

Zopakujme si zaužívané školské výrazy s číslami. Číselný výraz pozostáva z čísel, matematických symbolov a zátvoriek, napríklad: . Pri výpočte platí známa algebraická priorita: po prvé, zátvorkách, potom vykonaný umocnenie/zakorenenie, Potom násobenie/delenie a v neposlednom rade - sčítanie/odčítanie.

Ak má číselný výraz zmysel, tak výsledkom jeho vyhodnotenia je číslo, Napríklad:

Maticové výrazy sú usporiadané takmer rovnako! S tým rozdielom, že hlavnými postavami sú matrice. Plus niektoré špecifické maticové operácie, ako je transpozícia a nájdenie inverznej matice.

Zvážte maticový výraz , kde su nejake matrice. V tomto maticovom výraze sa ako posledné vykonajú tri členy a operácie sčítania/odčítania.

V prvom termíne musíte najskôr transponovať maticu „be“: , potom vykonať násobenie a zadať „dve“ do výslednej matice. poznač si to operácia transponovania má vyššiu prioritu ako násobenie. Zátvorky, rovnako ako v číselných výrazoch, menia poradie akcií: - tu sa najskôr vykoná násobenie, potom sa výsledná matica transponuje a vynásobí 2.

V druhom termíne sa najskôr vykoná násobenie matice a inverzná matica sa nájde z produktu. Ak odstránite zátvorky: , musíte najprv nájsť inverznú maticu a potom vynásobiť matice: . Nájdenie inverznej matice má tiež prednosť pred násobením.

S tretím výrazom je všetko zrejmé: maticu zdvihneme do kocky a do výslednej matice zadáme „päťku“.

Ak má maticový výraz zmysel, tak výsledkom jeho vyhodnotenia je matica.

Všetky úlohy budú zo skutočných testov a začneme tým najjednoduchším:

Príklad 9

Dané matice . Nájsť:

Riešenie: Poradie operácií je zrejmé, najskôr sa vykoná násobenie, potom sčítanie.

Sčítanie nie je možné vykonať, pretože matice majú rôznu veľkosť.

Nebuďte prekvapení, v úlohách tohto typu sa často navrhujú nemožné akcie.

Skúsme vypočítať druhý výraz:

Všetko je tu v poriadku.

Odpoveď: akcia sa nedá vykonať, .

Lineárna algebra pre figuríny

Ak chcete študovať lineárnu algebru, môžete si prečítať a ponoriť sa do knihy „Matrice a determinanty“ od I. V. Belousova. Je však napísaná prísnym a suchým matematickým jazykom, ktorý ľudia s priemernou inteligenciou ťažko vnímajú. Preto som prerozprával najťažšie pochopiteľné časti tejto knihy, pričom som sa snažil materiál podať čo najzrozumiteľnejšie, s použitím nákresov v čo najväčšej miere. Dôkazy teorémov som vynechal. Úprimne povedané, sám som sa do nich neponáral. Verím pánovi Belousovovi! Podľa jeho práce je to kompetentný a inteligentný matematik. Jeho knihu si môžete stiahnuť na http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Ak sa chystáte ponoriť sa do mojej práce, musíte to urobiť, pretože budem často odkazovať na Belousovovú.

Začnime s definíciami. Čo je matica? Ide o obdĺžnikovú tabuľku čísel, funkcií alebo algebraických výrazov. Prečo sú potrebné matrice? Výrazne uľahčujú zložité matematické výpočty. Matica môže mať riadky a stĺpce (obr. 1).

Riadky a stĺpce sú číslované zľava

zhora (obr. 1-1). Keď hovoria: matica veľkosti m n (alebo m krát n), myslia tým m počet riadkov a pod n počet stĺpcov. Napríklad matica na obrázku 1-1 je 4 x 3, nie 3 x 4.

Pozrite sa na obr. 1-3, aké matice sú tam. Ak matica pozostáva z jedného riadku, nazýva sa riadková matica a ak pozostáva z jedného stĺpca, potom sa nazýva stĺpcová matica. Matica sa nazýva štvorec rádu n, ak sa počet riadkov rovná počtu stĺpcov a rovná sa n. Ak sú všetky prvky matice nulové, potom ide o nulovú maticu. Štvorcová matica sa nazýva uhlopriečka, ak sú všetky jej prvky rovné nule, okrem tých, ktoré sa nachádzajú na hlavnej uhlopriečke.

Hneď vysvetlím, aká je hlavná uhlopriečka. Čísla riadkov a stĺpcov na ňom sú rovnaké. Ide zľava doprava zhora nadol. (Obr. 3) Prvky sa nazývajú diagonálne, ak sú umiestnené na hlavnej diagonále. Ak sú všetky diagonálne prvky rovné jednej (a ostatné sú rovné nule), matica sa nazýva identita. Dve matice A a B rovnakej veľkosti sa považujú za rovnaké, ak sú všetky ich prvky rovnaké.

2 Operácie s maticami a ich vlastnosti

Súčinom matice a čísla x je matica rovnakej veľkosti. Ak chcete získať tento produkt, musíte vynásobiť každý prvok týmto číslom (obrázok 4). Na získanie súčtu dvoch matíc rovnakej veľkosti je potrebné sčítať im zodpovedajúce prvky (obr. 4). Na získanie rozdielu A - B dvoch matíc rovnakej veľkosti je potrebné maticu B vynásobiť -1 a výslednú maticu pripočítať k matici A (obr. 4). Pre operácie s maticami platia nasledujúce vlastnosti: A+B=B+A (vlastnosť komutativity).

(A + B)+C = A+(B + C) (vlastnosť asociatívnosti). Jednoducho povedané, zmena miesta pojmov nezmení súčet. Nasledujúce vlastnosti sa vzťahujú na operácie s maticami a číslami:

(čísla označte písmenami x a y a matice písmenami A a B) x(yA)=(xy)A

Tieto vlastnosti sú podobné vlastnostiam, ktoré sa vzťahujú na operácie s číslami. Pozri

príklady na obrázku 5. Pozrite si aj príklady 2.4 - 2.6 z Belousovovej na strane 9.

Maticové násobenie.

Násobenie dvoch matíc je definované iba vtedy, ak (preložené do ruštiny: matice možno násobiť iba vtedy), keď sa počet stĺpcov prvej matice v súčine rovná počtu riadkov druhej matice (obr. 7 vyššie, modré zátvorky). Aby ste si zapamätali: číslo 1 je skôr ako stĺpec. Výsledkom násobenia je matica veľkosti (pozri obrázok 6). Aby ste si ľahšie zapamätali, čo je potrebné čím vynásobiť, navrhujem nasledujúci algoritmus: pozrite si obrázok 7. Vynásobte maticu A maticou B.

matica A dva stĺpce,

Matica B má dva riadky - môžete násobiť.

1) Poďme sa zaoberať prvým stĺpcom matice B (je to jediný, ktorý má). Tento stĺpec zapíšeme do riadku (transponovať

stĺpec o transpozícii nižšie).

2) Tento riadok skopírujeme tak, aby sme dostali maticu veľkosti matice A.

3) Prvky tejto matice vynásobíme zodpovedajúcimi prvkami matice A.

4) Výsledné produkty spočítame v každom riadku a získame súčinová matica dvoch riadkov a jedného stĺpca.

Obrázok 7-1 ukazuje príklady násobiacich matíc, ktoré majú väčšiu veľkosť.

1) Tu má prvá matica tri stĺpce, čo znamená, že druhá musí mať tri riadky. Algoritmus je úplne rovnaký ako v predchádzajúcom príklade, len tu sú v každom riadku tri výrazy, nie dva.

2) Tu má druhá matica dva stĺpce. Najprv vykonáme algoritmus s prvým stĺpcom, potom s druhým a dostaneme maticu „dva krát dva“.

3) Tu má druhá matica stĺpec pozostávajúci z jedného prvku, stĺpec sa v dôsledku transpozície nezmení. A nie je potrebné nič pridávať, pretože prvá matica má iba jeden stĺpec. Algoritmus vykonáme trikrát a získame maticu tri na tri.

Vyskytujú sa tieto vlastnosti:

1. Ak existuje súčet B + C a súčin AB, potom A (B + C) = AB + AC

2. Ak existuje súčin AB, potom x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Ak existujú produkty AB a BC, potom A (BC) = (AB) C.

Ak existuje matricový produkt AB, potom matricový produkt BA nemusí existovať. Aj keď produkty AB a BA existujú, môžu sa ukázať ako matrice rôznych veľkostí.

Oba produkty AB aj BA existujú a ide o matice rovnakej veľkosti len v prípade štvorcových matíc A a B rovnakého rádu. Avšak ani v tomto prípade sa AB nemusí rovnať BA.

Umocňovanie

Zvýšenie matice na mocninu má zmysel len pre štvorcové matice (premýšľajte prečo?). Potom je kladná celočíselná mocnina m matice A súčinom m matíc rovných A. To isté ako pre čísla. Pod nulovým stupňom štvorcovej matice A rozumieme maticu identity rovnakého rádu ako A. Ak ste zabudli, čo je matica identity, pozrite si Obr. 3.

Rovnako ako čísla platia nasledujúce vzťahy:

AmAk=Am+k(Am)k=Amk

Pozrite si príklady z Belousovovej na strane 20.

Transponujúce matice

Transpozícia je transformácia matice A na maticu AT,

v ktorej sa riadky matice A zapisujú do stĺpcov AT pri zachovaní poradia. (obr. 8). Môžete to povedať aj inak:

Stĺpce matice A sa zapisujú do riadkov matice AT so zachovaním poradia. Všimnite si, ako transpozícia mení veľkosť matice, teda počet riadkov a stĺpcov. Všimnite si tiež, že prvky v prvom riadku, prvom stĺpci a poslednom riadku a poslednom stĺpci zostanú na svojom mieste.

Platia nasledujúce vlastnosti: (AT )T =A (transponovať

matica dvakrát - dostanete rovnakú maticu)

(xA)T =xAT (x myslíme číslo, A samozrejme maticu) (ak potrebujete vynásobiť maticu číslom a transponovať, môžete najprv vynásobiť, potom transponovať alebo naopak )

(A+B)T = AT + BT (AB)T = BT AT

Symetrické a antisymetrické matice

Obrázok 9, vľavo hore, ukazuje symetrickú maticu. Jeho prvky, symetrické vzhľadom na hlavnú uhlopriečku, sú rovnaké. A teraz definícia: Štvorcová matica

A sa nazýva symetrický, ak AT = A. To znamená, že symetrická matica sa pri transpozícii nemení. Najmä každá diagonálna matica je symetrická. (Takáto matica je znázornená na obr. 2).

Teraz sa pozrite na antisymetrickú maticu (obr. 9 nižšie). Ako sa líši od symetrického? Všimnite si, že všetky jeho diagonálne prvky sú nulové. Antisymetrické matice majú všetky diagonálne prvky rovné nule. Premýšľajte prečo? Definícia: Štvorcová matica A sa nazýva

antisymetrický, ak AT = -A. Všimnime si niektoré vlastnosti operácií na symetrických a antisymetrických

matice. 1. Ak sú A a B symetrické (antisymetrické) matice, potom A + B je symetrická (antisymetrická) matica.

2.Ak A je symetrická (antisymetrická) matica, potom xA je tiež symetrická (antisymetrická) matica. (v skutočnosti, ak vynásobíte matice z obrázku 9 nejakým číslom, symetria zostane zachovaná)

3. Súčin AB dvoch symetrických alebo dvoch antisymetrických matíc A a B je symetrická matica pre AB = BA a antisymetrická pre AB =-BA.

4. Ak A je symetrická matica, potom A m (m = 1, 2, 3,...) je symetrická matica. Ak

Antisymetrická matica, potom Am (m = 1, 2, 3, ...) je symetrická matica pre párne m a antisymetrická pre nepárne.

5. Ľubovoľnú štvorcovú maticu A možno znázorniť ako súčet dvoch matíc. (nazvime tieto matice, napríklad A(s) a A(a) )

A = A (s) + A (a)