Sestrojte logickou funkci odpovídající logickému obvodu. Konstrukce funkčních logických diagramů na základě zadaných funkcí

Příklad řešení logických úloh pomocí logické algebry

Logika

Logický obvod je schematické znázornění zařízení sestávajícího ze spínačů a vodičů, které je spojují, a také ze vstupů a výstupů, do kterých je přiváděn a odváděn elektrický signál.

Každý přepínač má pouze dva stavy: ZAVŘENO A OTEVŘENO. Spínač X spojujeme s logickou proměnnou x, která nabývá hodnoty 1 právě tehdy, je-li spínač X sepnut a obvodem prochází proud; je-li spínač otevřený, pak x je nula.

Dvě schémata se nazývají ekvivalent , jestliže jedním z nich prochází proud právě tehdy, když prochází druhým (pro stejný vstupní signál).

Ze dvou ekvivalentních obvodů je jednodušší obvod, jehož vodivostní funkce obsahuje menší počet logických operací nebo přepínačů.

Při zvažování spínacích obvodů vyvstávají dva hlavní problémy: syntéza A analýza systém.

SYNTÉZA SCHÉMATU podle daných podmínek jeho fungování je redukována na tyto tři fáze:

1. sestavení funkce vodivosti pomocí pravdivostní tabulky odrážející tyto podmínky;
2. zjednodušení této funkce;
3. sestavení vhodného diagramu.

ANALÝZA SCHÉMATU sestává z:

1. určení hodnot jeho vodivostní funkce pro všechny možné sady proměnných obsažených v této funkci.
2. získání zjednodušeného vzorce.

Úkol: Vytvořte pravdivostní tabulku pro tento vzorec: (x ~ z) | ((x y) ~ (y z)).

Řešení: Je užitečné zahrnout pravdivostní tabulky mezilehlých funkcí do pravdivostní tabulky tohoto vzorce:

xyz	x~z	x y	y z	(x y) ~ (y z)	(x~ z)|((x y) ~ (yz)

Směrnice k provedení praktický úkolč. 2 "Algebra logiky". Konstrukce pravdivostních tabulek.

Cíl práce: Seznamte se s hlavním aritmetické operace, základní logické prvky (AND, NAND, OR, NOR, XOR) a metody studia na nich založené pravdivostní tabulky.

Cvičení:

1. V dodatku 2 vyberte možnost úkolu a vytvořte zprávu pravdivostní tabulka .

2. Dokončete úlohu na příkladu řešení logických úloh pomocí logické algebry.

Úkol:

Sestavte logický obvod pomocí daného booleovského výrazu:

F =`BA + B`A + C`B.

Řešení:

Konstrukce a výpočet jakéhokoli obvodu se zpravidla provádí od jeho výstupu.

První etapa: logické sčítání, provede se logická operace OR, přičemž funkce `B A, B`A a C`B se považují za vstupní proměnné:

Druhá fáze: Na vstupy prvku OR jsou připojeny logické prvky AND, jejichž vstupní proměnné jsou již A, B, C a jejich převrácené hodnoty:

Třetí etapa: pro získání inverzí `A a `B jsou měniče instalovány na odpovídajících vstupech:

Tato konstrukce je založen na následující vlastnosti: protože hodnoty logických funkcí mohou být pouze nuly a jedničky, mohou být jakékoli logické funkce reprezentovány jako argumenty pro jiné složitější funkce. Konstrukce logického obvodu se tedy provádí od výstupu ke vstupu.

Pokyny pro splnění praktického úkolu č. 3. "Algebra logiky". Konstrukce logických obvodů

Cíl práce: Seznamte se se základními aritmetickými operacemi, základními logickými prvky (AND, NAND, OR, NOR, XOR) a nastudujte si metody pro konstrukci nejjednodušších logických obvodů na nich založených.

Cvičení:

1. V dodatku 2 vyberte volbu úlohy a sestavte logický obvod .

2. Dokončete úkol na příkladu konstrukce logických obvodů.

3. Připravte si práci do sešitu pro praktickou práci.

4. Prezentujte výsledek práce učiteli.

5. Dokončenou práci obhájte před učitelem.

Dodatek 2. Tabulka možností úloh

Vytvořte pravdivostní tabulku a logický diagram pro tyto operace
Volba	Operace

4. Individuální úkol. Modul 1. “Konstrukce logických obvodů pomocí daných booleovských výrazů”

Úkoly pro IDZ:

1. V dodatku 3 vyberte možnost pro jednotlivý úkol.
2. Dokončete úkol pomocí teoretických informací
3. Zkontrolujte logické schéma s lektorem.
4. IDZ vyplňte ve formátu A4, titulní list podle vzoru v příloze 4.
5. Výsledek práce prezentujte učiteli.
6. Prezentujte svou práci učiteli.

Příloha 3. Tabulka možností pro jednotlivá zadání

Možnosti	Vytvořte pravdivostní tabulku a logický diagram pomocí vzorců

Dodatek 4. Titulní strana IDZ

Shrnutí lekce
"Konstrukce logických obvodů pomocí základních logických prvků"

Stupeň 10

Typ lekce: přednáška, samostatná práce.

Zařízení: projektor, karty úkolů.

Formy práce: kolektivní, individuální.

Délka lekce: 45 min.

Cíle lekce:

Vzdělávací:

naučit se stavět logické obvody pro logické funkce s využitím základních základních logických prvků;

naučit se zapsat odpovídající logickou funkci z logického obvodu.

Vzdělávací:

vštěpování dovedností nezávislosti v práci, vštěpování přesnosti a disciplíny.

Vzdělávací:

rozvoj pozornosti, myšlení, paměti žáků.

Během lekcí:

1. Organizační moment (1 min).
2. Kontrola zakrytého materiálu (5 min).

Frontální průzkum.

Vyjmenujte základní logické operace.

Co je logické násobení?

Co je to logické sčítání?

Co je to inverze?

Co je pravdivostní tabulka?

Co je to zmije?

Co je poloviční sčítačka?

3. Studium nového materiálu (20 min).

Diskrétní převodník, který po zpracování vstupních binárních signálů vytváří výstupní signál, který je hodnotou jedné z logických operací, se nazývá logický prvek.
Protože jakákoli logická operace může být reprezentována jako kombinace tří základních, jakákoliv počítačová zařízení, která zpracovávají nebo ukládají informace, mohou být sestavena ze základních logických prvků, jako jsou „cihly“.
Logické prvky počítače pracují se signály, které jsou elektrickými impulsy. Existuje pulz - logický význam signálu je 1, žádný pulz - 0. Signály-hodnoty argumentů jsou přijímány na vstupech logického prvku a na výstupu se objevuje signální hodnota funkce.
Transformaci signálu logického hradla specifikuje stavová tabulka, což je vlastně pravdivostní tabulka odpovídající logické funkci.
Zobrazeno na desce symboly(obvody) základních logických prvků, které realizují logické násobení (konjunktor), logické sčítání (disjunktor) a negaci (invertor).

Logický prvek "AND":

Logický prvek "OR":

Logický prvek "NOT":

Počítačová zařízení (adders v procesoru, paměťové buňky v paměť s náhodným přístupem atd.) jsou postaveny na základě základních logických prvků.

Příklad 1 sestavit logický obvod.

Při konstrukci obvodu začneme logickou operací, která by měla být provedena jako poslední. V našem případě je taková operace logickým sčítáním, proto musí být na výstupu logického obvodu disjunktor. Signály do něj budou přiváděny ze dvou konektorů, které jsou zase napájeny jedním normálním vstupním signálem a jedním invertovaným (z měničů).

Příklad 2 Vypište odpovídající logický vzorec z logického diagramu:

Řešení:

4. Konsolidace nového materiálu (15 min).

Pro utužení látky jsou studentům rozdány kartičky se dvěma možnostmi samostatné práce.

Možnost 1.

Řešení:

Řešení:

Možnost 2.

1. Podle dané logické funkcesestavit logický obvod a pravdivostní tabulku.
Řešení:

2. Vypište odpovídající logický vzorec z logického diagramu:

Řešení:

5. Zadání domácího úkolu. (3 min).

Podle dané logické funkcesestavit logický obvod a pravdivostní tabulku.

6. Shrnutí lekce. (1 min).

Analyzujte, zhodnoťte úspěšnost dosažení cíle a načrtněte vyhlídky do budoucna. Hodnocení práce třídy a jednotlivých žáků, zdůvodnění hodnocení, komentáře k hodině.

Literatura, eor:

Počítačová věda a informační technologie. Učebnice pro ročníky 10-11, N. D. Ugrinovich - 2007;

Workshop z informatiky a informační technologie. Návod pro vzdělávací instituce, N. D. Ugrinovič, L. L. Bosová, N. I. Michajlova - 2007

Při stavbě jednotlivých komponent počítače je často nutné řešit problém konstrukce funkčních logických obvodů pro dané funkce. K tomu stačí souhlasit s tím, že pravdivé tvrzení odpovídá skutečnosti, že obvodem proud vede, a nepravdivé tvrzení odpovídá skutečnosti, že obvod je přerušený.

Logické operace konjunkce, disjunkce a inverze jsou implementovány v počítači pomocí následujících elementárních obvodů.

Konjunkce – logický prvek „a“:

Tento prvek provádí operaci logického násobení (konjunkci): f = x 1 Ù x 2 Ùx 3 Ù…Ùx n ; a má n vstupů a jeden výstup.

Disjunkce je logický prvek „nebo“:

Tento prvek provádí operaci logického sčítání (disjunkci): f = x 1 Ú x 2 Úx 3 Ú…Úx n ; a má n vstupů a jeden výstup.

Inverze – logický prvek „ne“:

Tento prvek provádí operaci logické negace (inverze): f = ; a má jeden vstup a jeden výstup.

Složité funkční obvody lze sestavit ze základních logických hradel pomocí základních zákonů Booleovy algebry

Příklad splnění kontrolního úkolu

Cvičení:

Daná funkce,

1. Nakreslete funkční logické schéma této funkce.

2. Zjednodušte logickou funkci (pomocí zákonů Booleovy algebry) a zkontrolujte transformaci pomocí pravdivostní tabulky.

3. Vytvořte funkční logické schéma pomocí zjednodušené funkce.

Výkon:

1. Vytvořme pravdivostní tabulku pro danou funkci:

X	y

2. Vytvořme funkční logické schéma pro danou funkci:

3. Zjednodušme danou funkci pomocí zákonů Booleovy algebry:

a) podle De Morganova zákona – 9

b) podle zákona idempotence - 13

c) zákon negace negace – 1

d) zákon distributivity – 6

e) vlastnosti 1 a 0 – 19

e) vlastnosti 1 a 0 – 16

Zjednodušená funkce tedy vypadá takto:

4. Vytvořme pravdivostní tabulku pro zjednodušenou funkci:

X	y

Porovnáním pravdivostních tabulek pro původní a zjednodušené funkce (jejich poslední sloupce) tedy dojdeme k závěru, že provedené transformace jsou správné.

5. Vytvořme funkční logické schéma pomocí zjednodušené funkce:

Úkol k vyplnění testu

Funkce f(x,y) je dána; číslo funkce v tabulce odpovídá pořadovému číslu studenta na seznamu.

4. Nakreslete funkční logické schéma této funkce.

5. Zjednodušte logickou funkci (pomocí zákonů Booleovy algebry) a zkontrolujte transformaci pomocí pravdivostní tabulky.

střední škola č. 22 ve Vladikavkazu

Poznámky k lekci informatiky

na téma:

"Základy logiky:

konstrukce logických obvodů"

IT-učitel

Greseva T.V.

2015

Shrnutí lekce na téma: "Základy logiky: konstrukce logických obvodů."

Tato lekcečtvrté v rámci tématu „Základy logiky“. Předpokládá se, že studenti jsou již obeznámeni se základními definicemi a logickými operacemi a jsou schopni sestavit pravdivostní tabulky pro jednoduché i složité logické výrazy.

Cíle lekce:

vytváření podmínek pro utváření znalostí o konstrukci logických obvodů pro složité výrazy;

úkoly:

studovat principy konstrukce logických obvodů pro složité výrazy;

podporovat rozvoj logického myšlení;

utvářet u studentů představy o zařízeních základny počítačových prvků.

Typ lekce:

lekce o zlepšování znalostí, dovedností a schopností;

cílová aplikace toho, co se naučili.

Typ lekce: kombinovaný.

Použité vybavení:

počítač;

aplikace Microsoft Office PowerPoint 2003 a vyšší;

multimediální projektor;

interaktivní tabule (pokud je to možné).

Plán lekce:

Organizační moment (1 min)

Průzkum na základě látky z předchozí lekce (4 min)

Prezentace nového materiálu (20 min)

Dokončení praktického úkolu (12 min)

Shrnutí lekce. Domácí úkol (3 min)

Během lekcí:

1. Organizace času.

Zdravím studenty. Kontrola přítomných. Připravte se na lekci.

1. Anketa na základě látky z předchozí lekce.

V minulé lekci jsme se seznámili se základními logickými operacemi. Studenti jsou požádáni, aby odpověděli další otázky:

1. Prezentace nového materiálu.

O možnostech využití logiky v technologii přemýšleli vědci a inženýři už dlouho. Například holandský fyzik Paul Ehrenfest (1880 - 1933) řekl „...Buď návrh schématu zapojení automatické telefonní ústředny. Je nutné určit: 1) zda bude správně fungovat při jakékoli kombinaci, která může nastat během provozu stanice; 2) zda neobsahuje zbytečné komplikace. Každá taková kombinace je předpokladem, každý malý komutátor je logické „buď-nebo“ vtělené do ebonitu a mosazi; vše dohromady - systém čistě kvalitativních... „premis“, nenechajících si nic přát, pokud jde o složitost a složitost... Je pravda, že navzdory existenci algebry logiky, jakási „algebra distribuce“? schémata“ by měla být považována za utopii? Teorie reléových obvodů, kterou vytvořil později M. A. Gavrilov (1903 - 1979), ukázala, že to vůbec není utopie.

Podívejme se na mikroobvod.

Na první pohled nevidíme nic, co by nás překvapilo. Pokud se na něj ale podíváme ve velkém zvětšení, ohromí nás svou štíhlou architekturou.

Abyste pochopili, jak to funguje, nezapomeňte, že počítač běží na elektřinu, to znamená, že jakákoli informace je v počítači prezentována ve formě elektrických impulsů. Pojďme si o nich povídat.

Z logického hlediska elektrický proud buď teče, nebo neteče; existuje nebo není elektrický impuls; je tam elektrické napětí nebo ne... V tomto ohledu si povíme o různé možnosti ovládání rozsvícení a zhasnutí obyčejné žárovky (žárovka jede i na elektřinu). Chcete-li to provést, zvažte elektrické kontaktní obvody, které implementují logické operace.

Typy logických prvků (brán):

1. Spojka (I):

2. Disjunktor (OR):

3. Měnič NE:

Nevýhody kontaktních obvodů byly jejich nízká spolehlivost a rychlost, velká velikost a spotřeba energie. Pokus o použití takových obvodů v počítači se proto neospravedlňoval. Nástup vakuových a polovodičových zařízení umožnil vytvářet logické prvky s rychlostí 1 milion sepnutí za sekundu. Právě takové elektronické obvody našly své uplatnění jako elementární základna počítače. Veškerá teorie prezentovaná pro kontaktní obvody byla přenesena do elektronických obvodů.

Logický prvek (brána)- Tento elektronické zařízení, implementující jednu z logických funkcí.

Ventily mají obvykle dva až osm vstupů a jeden nebo dva výstupy.

Logický obvod je elektronické zařízení, které implementuje jakoukoli logickou funkci, která popisuje činnost počítačových zařízení.

Fyzicky je každý logický prvek elektronický obvod, ve kterém jsou některé signály kódující 0 nebo 1 přiváděny na vstup a signál odpovídající 0 nebo 1 je také odstraněn z výstupu, v závislosti na typu logického prvku.

Zpracování jakékoli informace v počítači spočívá na procesoru, který provádí různé aritmetické a logické operace. Za tímto účelem zpracovatel zahrnuje tzv aritmeticko logická jednotka. Skládá se z řady zařízení postavených na logických prvcích diskutovaných výše.

Nejdůležitější z těchto zařízení jsou registrů A zmije.

Registr je elektronická jednotka určená k ukládání vícebitového binárního číselného kódu. Zjednodušeně si můžete registr představit jako kolekci buněk, z nichž každá může obsahovat jednu ze dvou hodnot: 0 nebo 1, tedy jednu číslici binární číslo. Tato buňka, tzv spoušť, je určitý logický obvod složený z logických prvků diskutovaných výše.

Pod vlivem signálů přicházejících na vstup spouště přejde do jednoho ze dvou možných stabilních stavů, ve kterých výstup vytvoří signál kódující hodnotu 0 nebo 1. Chcete-li uložit jeden bajt informace do registru, 8 flip - jsou potřeba propady.

Zmije- Tento elektronický obvod, určený k provádění operace sčítání binárních číselných kódů.

Pravidla pro konstrukci logických obvodů:

1) Určete počet logických proměnných.

2) Určete počet základních logických operací a jejich pořadí.
3) Nakreslete pro každou logickou operaci odpovídající logický prvek.
4) Spojte logické prvky v pořadí logických operací.

Vytvořme logický obvod pro logický výraz:

K tomu potřebujeme 3 logické prvky:

1. Dokončení praktického úkolu.

Úkol č. 1

Sestrojte logický obvod pro logické vyjádření a zjistěte v čem vstupní signály Nebude na výstupu obvodu žádné napětí?

Úkol č. 2

Pomocí sestrojeného logického obvodu sestavte logický výraz

1. Shrnutí lekce. Zadání domácího úkolu.

Odpovědi na studentské otázky. Shrnutí lekce. Klasifikace.

Domácí práce(snímek 18).

V digitálních obvodech digitální signál je signál, který může nabývat dvou hodnot, považovaných za logickou "1" a logickou "0".

Logické obvody mohou obsahovat až 100 milionů vstupů a takové gigantické obvody existují. Představte si, že by se booleovská funkce (rovnice) takového obvodu ztratila. Jak jej obnovit s co nejmenší ztrátou času a bez chyb? Nejproduktivnějším způsobem je rozdělení diagramu do vrstev. Touto metodou je zaznamenána výstupní funkce každého prvku v předchozí vrstvě a nahrazena odpovídajícím vstupem v další vrstvě. Dnes budeme zvažovat tuto metodu analýzy logických obvodů se všemi jejími nuancemi.

Logické obvody jsou implementovány pomocí logických prvků: „NOT“, „AND“, „OR“, „AND-NOT“, „OR-NOT“, „XOR“ a „Equivalence“. První tři logické prvky umožňují implementovat jakoukoli, bez ohledu na to, jak složitou, logickou funkci na booleovské bázi. Budeme řešit problémy na logických obvodech implementovaných přesně na booleovské bázi.

K označení logických prvků se používá několik norem. Nejběžnější jsou americké (ANSI), evropské (DIN), mezinárodní (IEC) a ruské (GOST). Níže uvedený obrázek ukazuje označení logických prvků v těchto normách (pro zvětšení můžete kliknout na obrázek levým tlačítkem myši).

V této lekci budeme řešit úlohy na logických obvodech, ve kterých jsou logické prvky označeny v normě GOST.

Problémy s logickými obvody jsou dvojího druhu: úloha syntetizovat logické obvody a úloha analyzovat logické obvody. Začneme druhým typem úlohy, protože v tomto pořadí se můžeme rychle naučit číst logické obvody.

Nejčastěji se v souvislosti s konstrukcí logických obvodů zvažují funkce logické algebry:

• tři proměnné (budou uvažovány v úlohách analýzy a v jedné úloze syntézy);
• čtyři proměnné (v úlohách syntézy, tedy v posledních dvou odstavcích).

Uvažujme konstrukci (syntézu) logických obvodů

• na booleovské bázi "AND", "OR", "NOT" (v předposledním odstavci);
• v rovněž společných základech „AND-NOT“ a „OR-NOT“ (v posledním odstavci).

Problém analýzy logického obvodu

Úkolem analýzy je určit funkci F, realizované daným logickým obvodem. Při řešení takového problému je vhodné dodržet následující posloupnost akcí.

1. Logický diagram je rozdělen do vrstev. Úrovním jsou přiřazena pořadová čísla.
2. Výstupy každého logického prvku jsou označeny názvem požadované funkce, vybavené digitálním indexem, kde první číslice je číslo vrstvy a zbývající číslice jsou pořadové číslo prvku ve vrstvě.
3. Pro každý prvek je napsán analytický výraz, který spojuje jeho výstupní funkci se vstupními proměnnými. Výraz je určen logickou funkcí implementovanou daným logickým prvkem.
4. Substituce některých výstupních funkcí jinými se provádí, dokud není získána booleovská funkce vyjádřená pomocí vstupních proměnných.

Příklad 1

Řešení. Logický obvod rozdělíme na vrstvy, což je již znázorněno na obrázku. Zapišme si všechny funkce, počínaje 1. vrstvou:

X, y, z :

X	y	z					F
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	0

Příklad 2 Najděte booleovskou funkci logického obvodu a sestavte pravdivostní tabulku pro logický obvod.

Příklad 3 Najděte booleovskou funkci logického obvodu a sestavte pravdivostní tabulku pro logický obvod.

Pokračujeme společně v hledání booleovské funkce logického obvodu

Příklad 4. Najděte booleovskou funkci logického obvodu a sestavte pravdivostní tabulku pro logický obvod.

Řešení. Logický diagram rozdělíme na vrstvy. Zapišme si všechny funkce, počínaje 1. vrstvou:

Nyní si zapišme všechny funkce a dosadíme vstupní proměnné X, y, z :

V důsledku toho dostaneme funkci, kterou logický obvod implementuje na výstupu:

.

Pravdivostní tabulka pro tento logický obvod:

X	y	z			F
1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1

Příklad 5. Najděte booleovskou funkci logického obvodu a sestavte pravdivostní tabulku pro logický obvod.

Řešení. Logický diagram rozdělíme na vrstvy. Struktura tohoto logického obvodu má na rozdíl od předchozích příkladů 5 vrstev, nikoli 4. Ale jedna vstupní proměnná - ta nejnižší - prochází všemi vrstvami a přímo vstupuje do logického prvku v první vrstvě. Zapišme si všechny funkce, počínaje 1. vrstvou:

Nyní si zapišme všechny funkce a dosadíme vstupní proměnné X, y, z :

V důsledku toho dostaneme funkci, kterou logický obvod implementuje na výstupu:

.

Pravdivostní tabulka pro tento logický obvod:

X	y	z			F
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	1

Problém syntézy logických obvodů na booleovské bázi

Vývoj logického obvodu podle jeho analytického popisu se nazývá problém syntézy logického obvodu.

Každá disjunkce (logický součet) odpovídá prvku „OR“, jehož počet vstupů je určen počtem proměnných v disjunkci. Každé spojce (logickému součinu) odpovídá prvek „AND“, jehož počet vstupů je určen počtem proměnných ve spojce. Každá negace (inverze) odpovídá prvku „NOT“.

Logický návrh často začíná definováním logické funkce, kterou musí logický obvod implementovat. V tomto případě je uvedena pouze pravdivostní tabulka logického obvodu. Budeme analyzovat právě takový příklad, to znamená, že budeme řešit problém, který je zcela opačný k problému analýzy logických obvodů diskutovanému výše.

Příklad 6. Sestrojte logický obvod, který implementuje funkci s danou pravdivostní tabulkou.