норма линейного оператора и функционала. Линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах
Введение
§1. Определение линейного оператора. Примеры
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
§4. Оператор умножения на непрерывную функцию
§5. Оператор интегрирования
§6. Оператор дифференцирования
§7. Оператор сдвига
Заключение
Введение
Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.
Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.
В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.
В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.
В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).
В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=
.В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).
Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.
В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f / (x), в пространстве дифференцируемых функции D [ a , b ] . Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.
§1. Определение линейного оператора. Примеры
Определение 1. Пусть E x и E y – линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: E x ® E y называется линейным оператором , если для любых элементов х 1 и х 2 пространства E x и любого комплексного (действительного) числа
выполняются следующие равенства :1. А(х 1 +х 2) = Ах 1 + Ах 2 ;
х) = А(х);Примеры линейных операторов:
1) Пусть Е = Е 1 – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:
Ax = x для всех x
Е.Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.
2) Рассмотрим D [ a , b ] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D [ a , b ] задан формулой:
Дf(x) = f / (x).
D , f / (x) C .Оператор Д определен не на всем пространстве C [ a , b ] , а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.
3) Рассмотрим пространство С [-
, +] – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:Аf(x) = f(x+a).
Проверим линейность оператора А:
1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.
2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).
Верна аксиома однородности.
Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
(пространство непрерывных функций на отрезке , и дано отображение 1 , заданное формулой:
Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то
. В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном
пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
, – нормированные пространства.Определение 2 . Оператор А: Е
Е 1 называется непрерывным в точке , если какова бы не была последовательность x n x 0 , А(x n) сходится к А(x 0). То есть, при p (x n , x 0) 0, p (А(x n), А(x 0)) 0.Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.
Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x 0 , если какова бы не была окрестность U точки y 0 = А (x 0) можно указать окрестность V точки x 0 такую, что А(V)
U. >0 >0, что как только p (x, x 0) < , p (f(x), f(x 0)) < .Теорема 1.
Если линейный оператор непрерывен в точке х 0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.
Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х 0 =0 тогда и только тогда, когда
. Пусть оператор А непрерывен в точке х 0
=0. Возьмем последовательность точек пространства х n
®х 1
, тогда х n
–х 1
®0, отсюда А(х n
–х 1)®А(0)=0, т. е. А(х n
–х 1)®0.
Так как А – это линейный оператор, то А(х n –х 1)®Ах n –Ах 0 , а тогда
Размер: px
Начинать показ со страницы:
Транскрипт
1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные пространства над одним и тем же полем (=R или C). Отображение: с областью определения D() и областью значений R() называется линейным оператором из в, если для любого, y и:) (y) y (аддитивность);) () (однородность). Обозначим через (,) множество всех линейных операторов из в, область определения которых совпадает с E. Для, (,) и определим операторы, (,) формулами: def def () ;(). Тогда (,) становится векторным пространством. В частном случае, когда (поле является векторным пространством!), элементы (,) называется линейными функционалами на. Пусть теперь на i определены нормы i (i,), т.е., нормированные пространства (, Norm). Определение. Оператор (,) называется ограниченным оператором из в, если существует такая постоянная c, что для любых имеет место равенство c. Определение. Нормой оператора (,) называется число def sup. Можно показать, что c из определения. есть точная нижняя грань множества всех констант
2 ТЕОРЕМА. Пусть (,), где, Norm. Тогда следующие утверждения эквивалентны:) оператор является непрерывным оператором из в;) оператор является ограниченным оператором из в;). Пусть, (,), где, Norm. Справедливы соотношения:) ;) ;),. Поэтому, если, ограниченные операторы, то операторы, тоже ограничены. Следовательно, если обозначать через L(,) множество всех линейных ограниченных операторов из в, то L(,) векторным подпространством (,). является ТЕОРЕМА. Если Norm, а банахово (Ba), то L(,) Ba. Все сказанное относится и к функционалам. В этом случае, норма на, поэтому функционал f (,) называется ограниченным на Norm, если существует такая постоянная c, что f () c для любых. Тогда норма функционала f есть число def f sup f () if c:, f () c. Так как Ba, то по теореме L(,) Ba. Определение. Банахово пространство L(,), состоящее из линейных ограниченных функционалов на, будем обозначать через * и называть сопряженным пространством к E. Литература: стр, 9-56; стр. 8-5; стр З А Д А Ч И
3 . Пусть, Norm. Найти область определения def D() : оператора и установить, совпадает ли она с. Если D() Norm, то выяснить, является ли оператор линейным ограниченным оператором из D() в? E. l c. c l. L [,] L [,] ()(t) t (s). L [,] L [,] ()(t) (t).5 L [,] L [,] ()(t) (t).6 C[,] C[,] ()(t) (t).7 C[,] C () [,] ()(t) (t).8 C () [,] C[,] ()(t) (t).9 c R. l l,.... l l,.... L [-,] L [-,] ()(t) (5 t). C[,] R ()(t) () (). L [-,] L [-,] ()(t) t (s).5 L `[,] L [,] ()(t) (t) Решение задачи.5. Найдем D() L [, ] : L[, ] область определения оператора. Поскольку 8 (t) (t), то D(A)=L L {, ] 8 [,] L [,]. Итак, область определения оператора совпадает с нормированным пространством [, ] [, ] L 8 [,], отличным от исходного. Проверим линейность на D() : возьмем (t) y(t) L 8 [,], тогда
4 (y) y. Поэтому оператор не является линейным на D(), а следовательно и ограниченным. -5. Задает ли данная формула линейный ограниченный оператор:? В случае ограниченности оператора, найти его норму.. Оператор умножения. C[,] C[,] ()(t) (t t) (t). C[-,] C[,] ()(t) (t t) (t). L [,] L [,] ()(t) t (t). L [,] L [,] ()(t) (t t) (t).5 L [-,] L [-,] ()(t) t (t).6 L [-,] L [,] ()(t) t(t).7 L [,] L [,] ()(t) (t) (t).8 C[-,] C[,] ()(t) (t t) (t).9 L [-,] L [-,] ()(t) t (t). C () [-,] C[,] ()(t) si t(t). L [,] L [,] ()(t) t(t). C[-,] C[-,] ()(t) (t) (t), t [, [ (t t) (t), t [, ]. C[,] L [,] ()(t) t (t) t(t), t [, ]. L [-,] L [-,] ()(t), t [, [ Решение задачи.. Область определения оператора D() L [-,] (произведение (t) на непрерывную функцию не "выводит" это произведение из L [-,]). Линейность оператора очевидна. Так как для L [-,]
5 L t t t [, ] () () L {, ], ограни- то в качестве константы c в определении можно взять c=. Итак, ченный оператор и. Пусть (t) (t).тогда L [, ] [, ] и sup sup sup t = sup t sup sup. Следовательно. Оператор замены переменной. C[,] C[,] ()(t) t (t). C[-,] C[,] ()(t) (t t) (t). L [,] L [,] ()(t) t(t). L [,] L [,] ()(t) (t).5 L [-,] L [-,] ()(t) (t).6 L [-,] L [,] ()(t) t (t).7 L [-,] L [-,] ()(t) (t).8 C[,] C[,] ()(t) (t) t(t).9 L [,] L [,] ()(t) t(t). L [-,] L [,] ()(t) t (t). C () [,] C () [,] ()(t) t(t). L / [,] L / [,] ()(t) (t t) (t)
6 . L [,] L [,] ()(t) t(t). L [-,] L [,] ()(t) t (t) Решение задачи.. Пусть L [-,]. Тогда t (t) L [, ] u t du t t u = du (u) (u) (u) (u) du u (u) du L [, ]. Из последнего соотношения следует, что D() L [-,]. Очевидно, что оператор линеен и из доказанного неравенства вытекает, что A ограничен и. Рассмотрим последовательность функций (t) (t) L [, ],. Тогда [, ] L [, ] sup L [, ] sup sup (u) du L[, ] L [, ] sup 5 Итак 5 sup 5 5!. Учитывая предыдущее, имеем.. Операторы в пространствах последовательностей l l (,...) 5
7 . l l (,...). c c (,...,...). l l,....5 l l,....6 l l,....7 l l,...,....8 c c,...,....9 c si c,..., si,.... l l (,...). l c,.... l l,.... l c (,...). l l,... где M, N Решение задачи.. Так как для l sup sup, то D() l и линейность оператора проверяется без труда. Отсюда же имеем sup I. В силу определения точной верхней грани, для существует такое, что I. Тогда для l (,...,...) l, l и sup l I. Переходя в последнем неравенстве к пределу при I sup, т.е. sup 5. Интегральный оператор получим 6
8 5. L [,] L [,] ()(t) t s(s) 5. L [,] L [,] ()(t) (t) s(s) 5. C[,] L [,] ()(t) (t s) (s) 5. L [,] C[-,] ()(t) ts (s) 5.5 L [,] l t(t),..., t (t), L [,] l t(t),..., t (t), L [,] L [-,] ()(t) t s(s) 5.8 C[-,] L [,] ()(t) tsig s(s) 5.9 L [,] L [,] ()(t) t s (s) 5. L [,] L [,] ()(t) (t) s (s) 5. C[,] L [,] ()(t) sig(s) (s) t() 5. L [-,] L [,] ()(t) (t) s (s) 5. C[,] C[,] ()(t) (t s) (s) 5. L [,] l t(t),..., t (t),... 7
9 Решение задачи 5.. Пусть L [,]. Тогда l t (t) (t) L. [, ] Поэтому D() L [,] и линейность оператора следует из линейности интеграла. Из установленного неравенства следует тамкже, что 8. С другой стороны, если (t) (t), то, и L, [, ] sup L[, ] l sup l sup t sup () 8. Следовательно, Пусть Ba, К или С. Задает ли данная формула линейный ограниченный функционал f:? В случае положительного ответа, найти его норму. f 6. c С f () lim 6. l R f () 8
10 6. l R 6. c С 6.5 l R 6.6 c R f () f () (i) f () f () 6.7 l С f () 6.8 c R f () l R f () 6. l R f () 6. l С f () i 6. l С f () 6. c R f () lim 6. l С f () Решение задачи 6.. Линейность функционала проверяется без труда. Пусть l. Тогда применяя неравенство Коши-Буняковского, будем иметь: l f () () Отсюда D(f) l, функционал f ограничен на l и f что константа c. Покажем, является наименьшей из всех возможных в неравенстве (). Для этого достаточно указать такой ненулевой элемент l, для которого () становится цепочкой равенств. Равенство в () может нарушается после применения неравенства Коши-Буняковского. Последнее не нарушает равенства, если * 9
11 N,. f () * * Возьмем, тогда для * (,...), 8. Итак, f. 7. L [,] R f () t (t) 7. L [,] C f () i t (t) 7. C[,] R f () () () 7. C[,] R f () lim (t) 7.5 L [,] C f () t(t) 7.6 L [-,] R f () t (t) 7.7 L [,] R f () t (t) 7.8 L 6 [,] R f () t (t) 7.9 C () [,] C f () () i () 7. C () [,] R f () (t) (t) 7. C () [-,] C f () () 7. C () [,] C f () i() () 7. L [,] R f () t (t) 7. L [,] C f () i t (t) f * и
12 Решение задачи 7.. Линейность функционала вытекает из линейности интеграла. Пусть L [,]. Тогда произведя замену переменных в интеграле, а затем применяя неравенство Коши-Буняковского, получим f () t (t) u t u t udu u u du u du u du () (). () Следовательно, D(f) l, функционал ограничен и f. Возьмем * (u) u (почему?), тогда из () имеем * * f () u u du u du. Отсюда следует, что константа c возможных. Поэтому f в () является наименьшей из всех Варианты задания Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант
13 Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н Ы Е З А Д А Ч И И У П Р А Ж Н Е Н И Я. Доказать, что функционал f: (t) (t) R (t) C () [,] непрерывен. 5. Доказать, что функционал f: (t) (t) R линеен и неограничен на линейном подпространстве C () [,] нормированного пространства C[,]. 6. В l рассмотрим оператор (......) (......). При каких он ограничен на l? Найти его норму. 7. Пусть -оператор умножения на ограниченную измеримую функцию a(), действующей в пространстве L p (,). Доказать, что ограничен и найти его норму. 8. Найти норму тождественного оператора, действующего из Lp[ a, b] в Lq[ a, b] при p q.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СПЕКТР ОПЕРАТОРА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть: ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве над полем. C. Определение. Точка C называется регулярной
1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке , причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на . Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n) < 0 < g(b n) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков , n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n) = lim g(b n) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n) 0 lim g(b n) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0) = β (f(x 0) = α). 1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и
Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия
Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена
Скачано с http://antigtu.ru Задача Кузнецов Пределы 1-22 Доказать, что (указать). По определению предела: Проведем преобразования: (*) Очевидно, что предел существует и равен 2. Из (*) легко посчитать
Теория меры, лекция 10: эргодические меры Миша Вербицкий 9 мая 2015 НМУ 1 Эргодическое действие группы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть (M, µ) пространство с мерой, а G группа, действующая на M, сохраняя µ. Действие
8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,
28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность
3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.. Линейное пространство Определение. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в соответствие
Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f (d) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие
Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы
М Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые
9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на
Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической
