Абсолютно все цифровые микросхемы состоят из одних и тех же логических элементов – «кирпичиков» любого цифрового узла. Вот о них мы и поговорим сейчас.

Логический элемент – это такая схемка, у которой несколько входов и один выход. Каждому состоянию сигналов на входах, соответствует определенный сигнал на выходе.

Итак, какие бывают элементы?

Элемент «И» (AND)

Иначе его называют «конъюнктор».

Для того, чтобы понять как он работает, нужно нарисовать таблицу, в которой будут перечислены состояния на выходе при любой комбинации входных сигналов. Такая таблица называется «таблица истинности ». Таблицы истинности широко применяются в цифровой технике для описания работы логических схем.

Вот так выглядит элемент «И» и его таблица истинности:

Поскольку вам придется общаться как с русской, так и с буржуйской тех. документацией, я буду приводить условные графические обозначения (УГО) элементов и по нашим и по не нашим стандартам.

Смотрим таблицу истинности, и проясняем в мозгу принцип. Понять его не сложно: единица на выходе элемента «И» возникает только тогда, когда на оба входа поданы единицы. Это объясняет название элемента: единицы должны быть И на одном, И на другом входе.

Если посмотреть чуток иначе, то можно сказать так: на выходе элемента «И» будет ноль в том случае, если хотя бы на один из его входов подан ноль. Запоминаем. Идем дальше.

Элемент «ИЛИ» (OR)

По другому, его зовут «дизъюнктор».

Любуемся:

Опять же, название говорит само за себя.

На выходе возникает единица, когда на один ИЛИ на другой ИЛИ на оба сразу входа подана единица. Этот элемент можно назвать также элементом «И» для негативной логики: ноль на его выходе бывает только в том случае, если и на один и на второй вход поданы нули.

Элемент «НЕ» (NOT)

Чаще, его называют «инвертор».

Надо чего-нибудь говорить по поводу его работы?

Элемент «И-НЕ» (NAND)

Элемент И-НЕ работает точно так же как «И», только выходной сигнал полностью противоположен. Там где у элемента «И» на выходе должен быть «0», у элемента «И-НЕ» - единица. И наоборот. Э то легко понять по эквивалентной схеме элемента:

Элемент «ИЛИ-НЕ» (NOR)

Та же история – элемент «ИЛИ» с инвертором на выходе.

Следующий товарищ устроен несколько хитрее:
Элемент «Исключающее ИЛИ» (XOR)

Он вот такой:

Операция, которую он выполняет, часто называют «сложение по модулю 2». На самом деле, на этих элементах строятся цифровые сумматоры.

Смотрим таблицу истинности. Когда на выходе единицы? Правильно: когда на входах разные сигналы. На одном – 1, на другом – 0. Вот такой он хитрый.

Эквивалентная схема примерно такая:

Ее запоминать не обязательно.

Собственно, это и есть основные логические элементы. На их основе строятся абсолютно любые цифровые микросхемы. Даже ваш любимый Пентиум 4.

Ну и напоследок – несколько микросхем, внутри которых содержатся цифровые элементы. Около выводов элементов обозначены номера соответствующих ног микросхемы. Все микросхемы, перечисленные здесь, имеют 14 ног. Питание подается на ножки 7 (-) и 14 (+). Напряжение питания – смотри в таблице в предыдущем параграфе.

1. Определить порядок действий.

2. Определить размерность таблицы истинности.

Количество столбцов определяется количеством логических переменных (их две А, В) и количеством действий (их тоже два).

4. Сформулировать ответ.
В последнем столбце один "0", соответствующий А, равному "1", и В, равному "0". Получается, что данная функция ложна тогда и только тогда, когда логическая переменная А истинна, а логическая переменная В ложна, что соответствует логической функции СЛЕДСТВИЕ.
Значит, данная функция равна логическому следствию переменных А и В: Если А, то В.

Составить таблицу истинности для логической функции:

1. Определить порядок действий.

2. Определить размерность таблицы истинности.

"Шапка" таблицы содержит две строки - номера действий и логические операции действий.
Количество столбцов определяется количеством логических переменных (их две А, В) и количеством действий (их пять).
Количестко строк в таблице равно двойке в степени, равной количеству логических переменных - в случае двух переменных получается 4 строки..
3. Поочередно заполнить столбики таблицы в соответствии с логической функцией данного столбца.


4. Сформулировать ответ.
В последнем столбце "1", соответствуют А равному В, а "0" - А неравному В. Получается, что данная функция истинна, когда А равно В и ложна, когда А не равно В, что соответствует логической функции ТОЖДЕСТВО.
Значит, данная функция равна логическому ТОЖДЕСТВУ переменных А и В: А тождественно В.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для построения таблицы истинности для логического выражения .
Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.
Таблица истинности содержит 2 n строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.

Инструкция . При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения: Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис .

Правила ввода логической функции

1. Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
2. Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
3. Максимальное количество переменных равно 10 .

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики - алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: "НЕ" (отрицание), "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:

• словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
• описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
• описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
  а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
  1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
  2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
  3) полученное произведение логически суммируется.
  Fднф= X 1 *Х 2 *Х 3 ∨ Х 1 x 2 Х 3 ∨ Х 1 Х 2 x 3 ∨ Х 1 Х 2 Х 3
  ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
  б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
  КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
  1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
  2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
  3) логически перемножаются полученные суммы.
  Fскнф=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
  КНФ называется совершенной , если все переменные имеют одинаковый ранг.

По алгебраической форме можно построить схему логического устройства , используя логические элементы.

Рисунок1- Схема логического устройства

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Операция НЕ - логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
не А, Ā, not A, ¬А, !A
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

A	не А
0	1
1	0

Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

Операция ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В - ложны.

Операция И - логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А и B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Операция «ЕСЛИ-ТО» - логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе - следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
Таблица истинности:

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.
Таблица истинности:

A	B	А↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)

Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.
Таблица истинности:

A	B	А⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Приоритет логических операций

• Действия в скобках
• Инверсия
• Конъюнкция (&)
• Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
• Импликация (→)
• Эквивалентность (↔)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:

1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
2. Все логические слагаемые формулы различны.
3. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований.
Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:

1. Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
2. Все элементарные дизъюнкции различны.
3. Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
4. Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.

Информатика: аппаратные средства персонального компьютера Яшин Владимир Николаевич

4.3. Логические функции и таблицы истинности

Соотношения между логическими переменными и логическими функциями в алгебре логики можно отобразить также с помощью соответствующих таблиц, которые носят название таблиц истинности. Таблицы истинности находят широкое применение, поскольку наглядно показывают, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее логических переменных. Таблица истинности состоит из двух частей. Первая (левая) часть относится к логическим переменным и содержит полный перечень возможных комбинаций логических переменных А, В, С… и т. д. Вторая (правая) часть этой таблицы определяет выходные состояния как логическую функцию от комбинаций входных величин.

Например, для логической функции F = A v B v C (дизъюнкции) трех логических переменных А, В, и С таблица истинности будет иметь вид, показанный на рис. 4.1. Для записи значений логических переменных и логической функции данная таблица истинности содержит 8 строк и 4 столбца, т. е. число строк для записи значений аргументов и функции любой таблицы истинности будет равно 2 n , где п – число аргументов логической функции, а число столбцов равно п + 1.

Рис. 4.1. Таблица истинности для логической функции F = A v В v С

Таблицу истинности можно составить для любой логической функции, например, на рис. 4.2 приведена таблица истинности логической функции F = A ? B ? C (эквиваленции).

Логические функции имеют соответствующие названия. Для двух двоичных переменных существует шестнадцать логических функций, названия которых приведены ниже. На рис. 4.3 представлена таблица, в которой приведены логические функции F 1 , F 2 , F 3 , … , F 16 двух логических переменных A и В.

Функция F 1 = 0 и называется функцией константы нуля, или генератора нуля.

Рис. 4.2. Таблица истинности для логической функции F = A ? B ? C

Рис. 4.3. Логические функции F 1 , F 2 , F 3 ,… F 16 двух аргументов А и В

Функция F 2 = A & B называется функцией конъюнкции.

А.

Функция F 4 = А А.

называется функцией запрета по логической переменной В.

Функция F 6 = В называется функцией повторения по логической переменной В.

называется функцией исключающее «ИЛИ».

Функция F 8 = A v В называется функцией дизъюнкции.

называется функцией Пирса.

называется функцией эквиваленции.

В.

Функция F 12 = B ? A B ? A.

называется функцией отрицания (инверсии) по логической переменной А.

Функция F 14 = A ? B называется функцией импликации A ? B .

называется функцией Шеффера.

Функция F 16 = 1 называется функцией генератора 1.

Среди перечисленных выше логических функций переменных можно выделить несколько логических функций, с помощью которых можно выразить другие логические функции. Операцию замены одной логической функции другой в алгебре логики называют операцией суперпозиции или методом суперпозиции. Например, функцию Шеффера можно выразить при помощи логических функций дизъюнкции и отрицания, используя закон де Моргана:

Логические функции, с помощью которых можно выразить другие логические функции методом суперпозиции, называются базовыми логическими функциями. Такой набор базовых логических функций называется функционально полным набором логических функций. На практике наиболее широко в качестве такого набора используют три логических функции: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Если логическая функция представлена с помощью базовых функций, то такая форма представления называется нормальной. В предыдущем примере логическая функция Шеффера, выраженная через базовые функции, представлена в нормальной форме.

При помощи набора базовых функций и соответствующих им технических устройств, реализующих эти логические функции, можно разработать и создать любое логическое устройство или систему.

Рис. 4.4. Диалоговое окно «Мастер функций – шаг 1 из 2»

Как видно из рис. 4.4, в состав логических функций программы MS Excel входит функционально полный набор логических функций, состоящий из следующих логических функций: И (конъюнкция), ИЛИ (дизъюнкция), НЕ (отрицание). Таким образом, с помощью функционально полного набора логических функций программы MS Excel можно реализовать другие функции. Логическая функция ЕСЛИ (импликация), также входящая в логические функции MS Excel, выполняет логическую проверку и в зависимости от результата проверки выполняет одно из двух возможных действий. В данной программе она имеет следующий формат: = ЕСЛИ (арг1;арг2;арг3), где арг1 – логическое условие; арг2 – возвращаемое значение при условии, что значение аргумента арг1 выполняется (ИСТИНА); арг3 – возвращаемое значение при условии, что значение аргумента арг1 не выполняется (ЛОЖЬ). Например, если в произвольную ячейку листа программы MS Excel ввести выражение « = ЕСЛИ (А1 = 5; „пять“; „не пять“)», то при вводе числа 5 в ячейку А1 и нажатии клавиши «Enter» в ячейке А1 автоматически будет записано слово «пять», при вводе любого другого числа в ячейку А1 в ней запишется слово «не пять». Как уже отмечалось, с помощью логических функций программы MS Excel можно представить другие логические функции и соответствующие им таблицы истинности.

Реализуем с помощью логических функций ЕСЛИ и И модифицированную таблицу истинности логической функции F = А & В (конъюнкции), состоящую из двух строк и трех столбцов, которая позволяет при изменении значений (0 или 1) логических переменных А и В автоматически устанавливать, например, в ячейке Е6 значение функции F = А & В, соответствующее значениям этих логических переменных. Для этого в ячейку Е6 введем следующее выражение: «=ЕСЛИ(И(С6;D6);1;0)», тогда при вводе в ячейки С6 и D6 значений 0 или 1 в ячейке Е6 будет выполняться логическая функция F = А & В. Результат этих действий представлен на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Реализация модифицированной таблицы истинности логической функции F = A & В

Данный текст является ознакомительным фрагментом. Из книги Информатика и информационные технологии: конспект лекций автора Цветкова А В

1. Логические команды Наряду со средствами арифметических вычислений, система команд микропроцессора имеет также средства логического преобразования данных. Под логическими понимаются такие преобразования данных, в основе которых лежат правила формальной

Из книги Компьютер на 100. Начинаем с Windows Vista автора Зозуля Юрий

Логические функции в Excel При расчетах часто приходится выбирать формулу в зависимости от конкретных условий. Например, при расчете заработной платы могут применяться разные надбавки в зависимости от стажа, квалификации или конкретных условий труда, которые вычисляются

Из книги Excel. Мультимедийный курс автора Мединов Олег

Логические функции Логические функции могут найти применение при математических, инженерных вычислениях или при сравнительном анализе данных. Мы рассмотрим одну логическую функцию на примере функции ЕСЛИ.С помощью функции ЕСЛИ вы можете создать логическое выражение и

Из книги Информатика: аппаратные средства персонального компьютера автора Яшин Владимир Николаевич

4.1. Логические переменные и логические операции Информация (данные, машинные команды и т. д.) в компьютере представлена в двоичной системе счисления, в которой используется две цифры – 0 и 1. Электрический сигнал, проходящий по электронным схемам и соединительным

Из книги Справочник по PHP автора

Логические функции определения типа переменной is_scalarПроверяет, является ли переменная простой.Синтаксис:bool is_scalar(mixed var)Возвращает true, если var имеет скалярный тип (чила, строки, логические значения), но не комплексный (массивы или объекты).is_nullПроверяет, является ли

Из книги HTML 5, CSS 3 и Web 2.0. Разработка современных Web-сайтов автора Дронов Владимир

Логические операторы Логические операторы выполняют действия над логическими значениями. Все они приведены в табл. 14.5. А в табл. 14.6 и 14.7 показаны результаты выполнения этих операторов.Основная область применения логических операторов - выражения сравнения (о них см.

Из книги XSLT автора Хольцнер Стивен

Логические функции XPath XPath также поддерживает следующий набор логических функций: boolean(). Приводит аргумент к логическому значению; false(). Возвращает false (ложь); lang(). Проверяет, совпадает ли язык, установленный в атрибуте xml:lang, с языком, переданным в функцию; not().

Из книги Технология XSLT автора Валиков Алексей Николаевич

Логические операции В XSLT имеются две логические операции - or и and. Эти операции бинарны, то есть каждая из них определена для двух операндов. Если операнды не являются булевыми значениями, они неявным образом приводятся к булевому типу.Семантика or и and очевидна - они

Из книги Язык программирования Си для персонального компьютера автора Бочков C. О.

Логические операции Логические операции выполняют над своими операндами логические функции И (&&) и ИЛИ (||). Операнды логических операций могут иметь целый, плавающий тип, либо быть указателями. Типы первого и второго операндов могут различаться. Сначала всегда

Из книги Краткое введение в программирование на Bash автора Родригес Гарольд

Логические И и ИЛИ Вы уже видели, что такое управляющие структуры и как их использовать. Для решения тех же задач есть еще два способа. Это логическое И - "&&" и логическое "ИЛИ" - « || ». Логическое И используется следующим образом:выражение_1&&выражение_2Сначала

Из книги Firebird РУКОВОДСТВО РАЗРАБОТЧИКА БАЗ ДАННЫХ автора Борри Хелен

Логические операторы Firebird предоставляет три логических оператора, которые могут работать с другими предикатами разными способами.* NOT задает отрицание условия поиска, к которому он применяется. Он имеет наивысший приоритет.* AND создает сложный предикат, объединяет два

Из книги Язык Си - руководство для начинающих автора Прата Стивен

Понимание истинности и ложности Семантически, если предикат возвращает "неопределенность", это не является ни истиной, ни ложью. В SQL при этом утверждения разрешаются только в виде "истина" или "ложь" - утверждение, которое не вычисляется как "истина", рассматривается как

Из книги Восстановление данных на 100% автора Ташков Петр Андреевич

IV. Логические операции Обычно логические операции "считают" условные выражения операндами. Операция! имеет один операнд, расположенный справа. Остальные операции имеют два операнда: один слева и один справа. && Логическое И: результат операции имеет значение "истина",

Из книги C++ для начинающих автора Липпман Стенли

Логические нарушения Если накопитель исправен физически, но представляется как пустой или неформатированный, а находящиеся на нем данные не видны операционной системе, то в данном случае повреждены служебные таблицы файловой системы.Данные почти всегда остаются на

Из книги Описание языка PascalABC.NET автора Коллектив РуБоард

12.3.4. Логические объекты-функции Логические объекты-функции поддерживают операции "логическое И" (возвращает true, если оба операнда равны true, – применяет оператор &&, аcсоциированный с типом Type), "логическое ИЛИ" (возвращает true, если хотя бы один из операндов равен true, –

Из книги автора

Логические операции К логическим относятся бинарные операции and, or и xor, а также унарная операция not, имеющие операнды типа boolean и возвращающие значение типа boolean. Эти операции подчиняются стандартным правилам логики: a and b истинно только тогда, когда истинны a и b, a or b истинно