اطلاعات کلی

چگونه کسری را در ماتریس ضرب کنید. اقدامات با ماتریس

در این موضوع، عملیات مانند افزودن و تفریق ماتریس ها در نظر گرفته می شود، ضرب ماتریس به تعداد، ضرب ماتریس در ماتریس، انتقال ماتریس. تمام نمادها که در این صفحه استفاده می شود از موضوع قبلی گرفته شده است.

اضافه کردن و تفریق ماتریس ها.

مقدار $ a + b $ matrices $ a_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ و $ b_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $ به نام ماتریس $ c_ (m \\ بار n) \u003d (C_ (IJ)) $، جایی که $ c_ (IJ) \u003d a_ (ij) + b_ (ij) $ برای هر $ I \u003d \\ overline (1، m) $ j \u003d \\ overline (1 ، n) $.

تعریف مشابهی برای تفاوت ماتریس ها معرفی شده است:

تفاوت $ ab $ matrices $ a_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ و $ b_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $ به نام ماتریس $ c_ (m \\ times n) \u003d (C_ (IJ)) $، جایی که $ c_ (IJ) \u003d a_ (ij) -B_ (ij) $ برای $ i \u003d \\ overline (1، m) $ j \u003d \\ overline (1، n) $

توضیح رکورد $ I \u003d \\ Overline (1، M) $: نمایش / پنهان کردن

ضبط "$ I \u003d \\ Overline (1، M) $" به این معنی است که پارامتر $ I $ از 1 تا متر متغیر است. به عنوان مثال، رکورد $ I \u003d \\ Overline (1.5) $ نشان می دهد که پارامتر $ I $ ارزش 1، 2، 3، 4، 5 را می گیرد.

شایان ذکر است که عملیات افزودن و تفریق فقط برای ماتریس های مشابه تعریف می شود. به طور کلی، اضافه کردن و تفریق ماتریس ها - عملیات به طور مستقیم روشن است، زیرا آنها به این معنی هستند که، در واقع، فقط جمع و یا تفریق عناصر مربوطه.

مثال №1

سه ماتریس داده می شود:

$$ A \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CCC) -1 و -2 و 1 \\\\ 5 و 9 & -8 \\ end (آرایه) \\ end) \\؛ \\؛ b \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CCC) 10 و -25 و 98 \\\\ 3 و 0 و -14 \\ end (آرایه) \\ right)؛ \\؛ \\؛ f \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CC) 1 و 0 \\\\ -5 و 4 \\ end (آرایه) \\ right). $$

آیا می توان ماتریس $ A + F $ را پیدا کرد؟ MATRICES $ C $ و $ D $ را پیدا کنید اگر $ c \u003d a + b $ و $ d \u003d a-b $ باشد.

$ A $ MATRIX شامل 2 خط و 3 ستون (به عبارت دیگر - اندازه ماتریس $ A $ 2 دلار است 3 دلار)، و ماتریس $ F شامل 2 خط و 2 ستون است. ابعاد ماتریس $ A $ و $ f $ همخوانی ندارند، بنابراین ما نمی توانیم آنها را اضافه کنیم، به همین ترتیب عملیات $ a + f $ برای این ماتریسها تعریف نشده است.

ابعاد ماتریس $ A $ و $ b $ همزمان، I.E. این ماتریس حاوی تعداد مساوی ردیف ها و ستون ها است، بنابراین عملیات اضافی برای آنها قابل استفاده است.

$$ c \u003d a + b \u003d \\ left (\\ begin (array) -1 و -2 و 1 \\\\ 5 و 9 & -8 \\ end (آرایه) \\ right) + \\ left ) (CCC) 10 و -25 و 98 \\\\ 3 و 0 و -14 \\ end (آرایه) \\ end) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begn (array) (ccc) -1 + 10 و -2+ ( -25) & 1 + 98 \\\\ 5 + 3 و 9 + 0 &-8 + (- 14) \\ end (آرایه) \\ right) \u003d \\ left (\\ jagn (array) (CCC) 9 و -27 و 99 \\\\ 8 و 9 & -22 \\ end (آرایه) \\ right) $$

ما ماتریس $ D \u003d A-B $ را پیدا می کنیم:

$$ d \u003d ab \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CCC) -1 و -2 و 1 \\\\ 5 و 9 و -8 \\ end (آرایه) \\ end) - \\ left (\\ z begin (array) ( CCC) 10 و -25 و 98 \\\\ 3 و 0 و -14 \\ end (آرایه) \\ end) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ jagc) (ccc) -1-10 و -2 - (- 25 ) & 1-98 \\\\ 5-3 و 9-0 & -8 - (- 14) \\ end (آرایه) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (CCC) -11 \\ 23 & -97 \\ \\ 2 و 9 و 6 \\ end (آرایه) \\ end) $$

پاسخ: $ c \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 9 و -27 و 99 \\\\ 8 و 9 و -22 \\ end (آرایه) \\ end) $، $ d \u003d \\ left (\\ begin (zag begin) (CCC) -11 و 23 و -97 \\\\ 2 و 9 و 6 \\ end (آرایه) \\ right) $.

ضرب ماتریس توسط شماره

محصول ماتریکس $ a_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ توسط شماره $ \\ alpha $ به نام ماتریس $ b_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $، که در آن $ b_ (ij) \u003d \\ alpha \\ cdot a_ (ij) $ برای $ i \u003d \\ overline (1، m) $ j \u003d \\ overline (1، n) $.

به سادگی قرار دادن، ماتریس را بر روی یک عدد مشخص کنید - به معنی ضرب هر عنصر یک ماتریس داده شده به این شماره.

مثال شماره 2

ماتریس تنظیم شده است: $ a \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CCC) -1 و -2 و 7 \\\\ 4 و 9 و 0 \\ end (آرایه) \\ right) $. MATRICES $ 3 \\ CDOT A $، $ -5 \\ cDOT A $ و $ -A $ را پیدا کنید.

$$ 3 \\ CDOT A \u003d 3 \\ CDOT \\ سمت چپ (\\ شروع (آرایه) -1 و -2 و 7 \\\\ 4 و 9 و 0 \\ end (آرایه) \\ right) \u003d \\ left (\\ " آرایه) (CCC) 3 \\ CDOT (-1) و 3 / CDOT (-2) و 3 / CDOT 7 \\\\ 3 \\ CDOT 4 & 3 \\ CDOT 9 & 3 \\ CDOT 0 \\ end (آرایه) \\ right) \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CCC) -3 و -6 و 21 \\\\ 12 و 27 و 0 \\ end (آرایه) \\ right). \\\\ -5 \\ cdot a \u003d -5 \\ cdot \\ left \\ شروع (آرایه) (CCC) -1 و -2 و 7 \\\\ 4 و 9 و 0 \\ end (آرایه) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -5 \\ cdot (-1) و - 5 \\ CDOT (-2) و -5 \\ CDOT 7 \\\\ -5 \\ CDOT 4 & -5 \\ CDOT 9 & -5 \\ CDOT 0 \\ end (آرایه) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (CCC) 5 و 10 و -35 \\\\ -20 و -45 و 0 \\ end (آرایه) \\ end). $$

ضبط $ -A $ یک ورودی اختصار برای $ -1 \\ cdot a $ وجود دارد. کسانی که برای پیدا کردن $ -A $ شما نیاز به تمام عناصر ماتریس $ A $ multiply به (-1). در اصل، این به این معنی است که علامت تمام عناصر یک ماتریس $ $ a $ به طرف مقابل تغییر خواهد کرد:

$$ - -1 \\ cdot a \u003d -1 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) -1 و -2 و 7 \\\\ 4 و 9 و 0 \\ end (آرایه) \\ right) \u003d \\ left ( \\ شروع (آرایه) (CCC) 1 و 2 و -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ end (آرایه) \\ end) $$

پاسخ: $ 3 \\ CDOT A \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CCC) -3 و -6 و 21 \\\\ 12 و 27 و 0 \\ end (آرایه) \\ right)؛ \\؛ -5 \\ CDOT A \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CCC) 5 و 10 و -35 \\\\ -20 و -45 و 0 \\ end (آرایه) \\ end)؛ \\؛ -A \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CCC) 1 و 2 و -7 \\\\ -4 و -9 و 0 \\ end (آرایه) \\ end) $.

محصول دو ماتریس.

تعریف این عملیات دست و پا گیر است و در نگاه اول روشن نیست. بنابراین، برای اولین بار تعریف کلی را نشان می دهد، و سپس ما جزئیات دقیق آن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد و نحوه کار با آن.

محصول ماتریکس $ a_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ در ماتریکس $ b_ (n \\ times k) \u003d (b_ (ij)) $ به نام ماتریس $ c_ (m \\ times k ) \u003d (C_ (IJ)) $ که برای هر عنصر $ c_ (IJ) $ برابر با مقدار محصولات عناصر مربوطه خط I-Th Matrix $ a $ در عناصر J-Th ستون ماتریس $ b $: $$ C_ (IJ) \u003d \\ sum \\ limits_ (p \u003d 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj)، \\؛ \\؛ I \u003d \\ overline (1، m)، j \u003d \\ overline (1، n). $$

گام به گام ضرب Matrices در مثال تجزیه و تحلیل خواهد شد. با این حال، شما باید بلافاصله توجه کنید که چگونه تمام ماتریس ها نمی توانند افزایش یابد. اگر ما می خواهیم یک ماتریس $ A $ را بر روی یک ماتریس $ b $ افزایش دهیم، ابتدا باید اطمینان حاصل کنید که تعداد ستون های ماتریس $ A $ برابر با تعداد خطوط ماتریس $ B $ (مانند ماتریس ها اغلب نامیده می شوند استوار) به عنوان مثال، ماتریس $ a_ (5/5 بار 4) $ (ماتریس شامل 5 ردیف و 4 ستون)، شما نمی توانید در ماتریس $ F_ (9 \\ زمان 8) $ (9 ردیف و 8 ستون) ضرب کنید، از آن زمان تعداد ستون های $ یک ماتریس $ $ برابر با تعداد خطوط ماتریس $ F $ نیست، I.E. $ 4 \\ nq $ 9. اما MATRIX $ a_ (5 \\ times 4) $ را در ماتریس $ B_ (4 بار 9) ضرب کنید، زیرا تعداد ستون های $ a $ یک ماتریس برابر با تعداد خطوط $ است b $ ماتریس در این مورد، نتیجه ضرب MATRICES $ A_ (5 \\ times 4) $ و $ b_ (4 بار 9) $ خواهد بود $ C_ (5 \\ times 9) $ matrix حاوی 5 خط و 9 ستون:

مثال شماره 3

ماتریس ها داده می شوند: $ a \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) -1 و 2 و -3 و 0 \\\\ 5 و 4 و -2 و 1 \\\\ -8 و 11 و -10 و -5 \\ ed (آرایه) \\ right) $ و $ b \u003d left (\\ شروع (آرایه) (cc) -9 و 3 \\\\ 6 و 20 \\\\ 7 و 0 \\\\ 12 و -4 \\ end (آرایه) \\ right ) $ ماتریس $ c \u003d a \\ cdot b $ را پیدا کنید.

برای شروع، ما بلافاصله اندازه ماتریس $ C $ را تعیین می کنیم. از آنجا که $ A MATRIX $ 3 $ 4 برابر 4 دلار است و MATRIX $ B $ دارای حجم 4 دلار است 2 دلار، و سپس اندازه $ C $ ماتریس است: $ 3 \\ زمان $ 2:

بنابراین، به عنوان یک نتیجه از کار ماتریس ها $ A $ و $ b $، ما باید یک ماتریس $ C $، متشکل از سه خط و دو ستون را بدست آوریم: $ c \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ (12) \\\\ c_ (21) & c_ (22) \\\\ c_ (31) & c_ (32) \\ end (آرایه) \\ right) $. اگر تعیین عناصر باعث سوالات می شود، شما می توانید به موضوع قبلی نگاه کنید: "ماتریس ها. انواع ماتریس ها. شرایط اصلی"، در ابتدای تعیین عناصر ماتریس توضیح داده شده است. هدف ما: برای پیدا کردن مقادیر تمام عناصر ماتریس $ c $.

بیایید با یک عنصر $ c_ (11) $ شروع کنیم. برای دریافت یک عنصر $ c_ (11) $ شما نیاز به پیدا کردن مقدار آثار اول رشته $ یک ماتریس $ $ a $ و ستون اول $ B $ ماتریس:

برای پیدا کردن عنصر خود $ c_ (11) $، عناصر خط اول MATRIX $ A $ را به عناصر مربوط به ستون اول ستون $ B $ Matrix، I.E. اولین عنصر برای اولین بار، دوم در دوم، سوم تا سوم، چهارم تا چهارم. نتایج خلاصه شده است:

$$ c_ (11) \u003d - 1 \\ cdot (-9) +2 \\ cdot 6 + (- 3) \\ cdot 7 + 0 \\ cdot 12 \u003d 0. $$

ما تصمیم را ادامه می دهیم و $ C_ (12) $ را پیدا می کنیم. برای انجام این کار، عناصر خط اول یک ماتریس $ $ A و ستون دوم $ B $ MATRIX را چند برابر کنید:

شبیه به قبلی، ما داریم:

$$ C_ (12) \u003d - 1 \\ CDOT 3 + 2 \\ CDOT 20 + (- 3) \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT (-4) \u003d 37. $$

تمام عناصر خط اول ماتریس $ C $ یافت می شود. به خط دوم بروید، که عنصر $ c_ (21) $ را آغاز می کند. برای پیدا کردن آن باید عناصر خط دوم ماتریس $ A $ و ستون اول ستون $ B. MATRIX را چند برابر کنید:

$$ c_ (21) \u003d 5 \\ cdot (-9) +4 \\ cdot 6 + (- 2) \\ cdot 7 + 1 \\ cdot 12 \u003d -23. $$

عنصر بعدی $ c_ (22) $ ما پیدا می کنیم، عناصر رشته دوم $ یک ماتریس $ A را به عناصر مربوطه ستون دوم $ B $ MATRIX ضرب کنید:

$$ C_ (22) \u003d 5 \\ CDOT 3 + 4 \\ CDOT 20 + (- 2) \\ CDOT 0 + 1 \\ CDOT (-4) \u003d 91. $$

برای پیدا کردن $ C_ (31) $ mamondrize عناصر خط سوم ماتریس $ A $ در عناصر ستون اول ستون $ B. ماتریس:

$$ C_ (31) \u003d - 8 \\ CDOT (-9) +11 \\ CDOT 6 + (- 10) \\ CDOT 7 + (-5) \\ CDOT 12 \u003d 8. $$

و در نهایت، برای پیدا کردن یک عنصر $ c_ (32) $ ما باید عناصر خط سوم یک ماتریس $ $ a $ را به عناصر مربوطه ستون دوم $ B $ MATRIX ضرب کنید:

$$ C_ (32) \u003d - 8 \\ CDOT 3 + 11 \\ CDOT 20 + (- 10) \\ CDOT 0 + (-5) \\ CDOT (-4) \u003d 216. $$

تمام عناصر ماتریس $ C $ یافت می شود، تنها برای نوشتن آن $ c \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 و 37 \\\\ -23 و 91 \\\\ 8 و 216 \\ end (آرایه) باقی مانده است ) \\ right) $. یا اگر شما به طور کامل بنویسید:

$$ c \u003d a \\ cdot b \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (cccc) -1 و 2 و -3 و 0 \\\\ 5 و 4 و -2 و 1 \\\\ -8 و 11 و -10 و - 5 \\ end (آرایه) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) -9 و 3 \\\\ 6 و 20 \\ ed & 0 \\\\ 12 و -4 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ شروع (آرایه) (CC) 0 و 37 \\\\ -23 و 91 \\\\ 8 و 216 \\ end (آرایه) \\ right). $$

پاسخ: $ c \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 و 37 \\\\ -23 و 91 \\\\ 8 و 216 \\ end (آرایه) \\ right) $.

به هر حال، اغلب هیچ دلیلی برای پیدا کردن جزئیات هر عنصر از ماتریس نتیجه وجود ندارد. برای ماتریس، اندازه آن کوچک است، می تواند انجام شود مانند این:

$$ \\ سمت چپ (\\ شروع (آرایه) (CC) 6 و 3 \\\\ -17 و -2 \\ end (آرایه) \\ right \\ cdot \\ left \\ left (\\ شروع (آرایه) (CC) 4 و 9 \\\\ - 6 & 90 \\ end (آرایه) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 6 \\ cdot (4) +3 \\ cdot (-6) و 6 / cdot (9) +3 \\ cdot (90) \\\\ -17 \\ cdot (4) + (- 2) \\ cdot (-6) و -17 \\ cdot (9) + (- 2) \\ cdot (90) \\ end (آرایه) \\ right) \u003d \\ left ( \\ شروع (آرایه) (CC) 6 و 324 \\\\ -56 و -333 \\ end (آرایه) \\ end) $$

همچنین لازم به ذکر است که ضرب ماتریس ها غیرممکن است. این به این معنی است که در مورد کلی $ a \\ cdot b \\ neq b \\ cdot a $. فقط برای برخی از انواع ماتریس هایی که نامیده می شوند مجددا مرتب شده (یا رفت و آمد)، برابری $ a \\ cdot b \u003d b \\ cdot a $ است. این بر اساس عدم تکثیر ضرب است، لازم است دقیقا مشخص شود که چگونه ما به عبارتی بر روی یا ماتریس دیگر غالب می شویم: راست یا چپ. به عنوان مثال، عبارت "هر دو بخش از برابری $ 3E-F \u003d y $ در یک $ a $ matrix right" به این معنی است که لازم است این برابری را بدست آورید: $ (3E-F) \\ cdot a \u003d y \\ cdot a $ .

انتقال با توجه به ماتریس $ a_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ به نام ماتریس $ a_ (n \\ times m) ^ (t) \u003d (a_ (ij) ^ (t)) $ برای عناصر کدام $ a_ (ij) ^ (t) \u003d a_ (ji) $.

به سادگی قرار دادن، به منظور به دست آوردن یک ماتریس منتقل شده $ a ^ t $، شما باید ستون ها را در ماتریس اصلی $ A $ جایگزین کنید تا ستون ها را با رشته های متناظر برای این اصل جایگزین کنید: خط اول اولین ستون بود؛ خط دوم وجود داشت - ستون دوم خواهد بود؛ یک خط سوم وجود داشت - ستون سوم تبدیل خواهد شد و غیره. به عنوان مثال، ما یک ماتریس منتقل شده به ماتریس $ A_ (3 \\ times 5) $:

بر این اساس، اگر ماتریس منبع دارای مبلغ 3 دلار بود، 5 دلار بود، سپس ماتریس منتقل شده دارای اندازه 5 دلار است.

برخی از خواص عملیات بیش از ماتریس ها.

در اینجا فرض می شود که $ \\ alpha $، $ \\ beta $ برخی از اعداد، و $ $، $ $ b $، $ c $ $ - ماتریس. برای چهار ویژگی اول، من نام ها را مشخص کردم، بقیه را می توان به صورت مشابه با چهار چهارم نامگذاری کرد.

به منظور تولید ضرب ماتریس A به شماره دلخواه α، شما نیاز به عناصر ماتریس دارید آ. ضرب به تعداد α، I.E. کار ماتریس به تعداد به شرح زیر خواهد بود:

مثال 1 ماتریس 3 را پیدا کنید آ.برای ماتریس

تصمیم گیری مطابق با تعریف ضرب عناصر ماتریس آ. 3 و دریافت کنید

این یک نمونه کاملا ساده از ضرب ماتریس توسط یک عدد با عدد صحیح بود. همچنین نمونه های ساده ای نیز وجود دارد، اما در حال حاضر، جایی که در میان چند ضلعی و عناصر ماتریس ها - فراغت ها، متغیرها (نشانه نامه)، به دلیل قوانین ضرب نه تنها برای عدد صحیح عمل می کنند، بنابراین هرگز مضر نیست که آنها را تکرار کنید.

مثال 2 آ. توسط شماره α اگر
, .

آ. در α، فراموش نکنید که با ضرب فراغت، عددی از بخش اول با تعداد کسر اول ضرب می شود و محصول به عددی نوشته شده است، و مشخص کننده از اولین قطعه توسط کانال دوم ضرب می شود کسری و محصول به نام معیوب نوشته شده است. پس از دریافت عنصر دوم خط اول یک ماتریس جدید، کسر حاصل از 2 کاهش یافت، باید انجام شود. دريافت كردن

مثال 3 ضرب ماتریس را انجام دهید آ. توسط شماره α اگر
, .

تصمیم گیری عناصر ضرب ماتریس را چند برابر کنید آ. در α، نه در علامت گذاری نامه، بدون فراموش کردن یک منهای قبل از عنصر دوم خط دوم ماتریس جدید، و به یاد داشته باشید که نتیجه ضرب تعداد به تعداد به آن یک واحد وجود دارد ( اولین عنصر خط سوم). دريافت كردن

مثال 4 ضرب ماتریس را انجام دهید آ. توسط شماره α اگر
, .

تصمیم گیری ما به یاد می آوریم که با ضرب تعداد به درجه به تعداد به تعداد به شاخص های درجه اضافه شده است. دريافت كردن

این مثال، از جمله چیزهای دیگر، به وضوح نشان می دهد که اقدامات ضرب ماتریس به یک عدد می تواند در جهت معکوس خوانده شود (و ضبط شده) در جهت معکوس خوانده شود و آن را با ارسال یک عامل ثابت در مقابل ماتریس نامید.

در ترکیب S. اضافه کردن و تفریق ماتریس ها عملیات ضرب ماتریس به تعداد می تواند عبارات ماتریس مختلف را تشکیل دهد، به عنوان مثال، 5 آ. − 3ب , 4آ. + 2ب .

خواص ضرب ماتریس

(در اینجا، B - ماتریس، - اعداد، 1 - شماره یک)

خواص (1) و (2) ضرب اتصال ماتریس توسط یک عدد با اضافه کردن ماتریس. همچنین یک پیوند بسیار مهم بین ضرب ماتریس به تعداد وجود دارد و ضرب و شتم ماتریس ها را افزایش می دهد:

به نظر می رسد اگر در کار ماتریس یکی از ضیافت ها با تعداد ضرب شود، تمام کارها به تعداد تعداد افزایش می یابد.

ضرب ماتریس به تعداد - این عملیات بر روی ماتریس است، به عنوان یک نتیجه از هر عنصر با یک عدد ارزشمند یا پیچیده ای ضرب می شود. به نظر می رسد زبان ریاضی آن است:

$$ b \u003d \\ lambda \\ cdot a \\ rightarrow b_ (IJ) \u003d \\ lambda a_ (ij) $$

شایان ذکر است که ماتریکس حاصل $ b $ به عنوان یک نتیجه باید با ابعاد مشابه بدست آید که ماتریس اولیه $ a $ دارایی است. شما همچنین می توانید به چنین واقعیت توجه کنید: $ \\ lambda \\ cdot a \u003d a \\ cdot \\ lambda $، یعنی، ممکن است تغییر مکان های مکان ها و این کار تغییر نخواهد کرد.

مفید خواهد بود برای استفاده از عمل ضرب ماتریس توسط شماره هنگام ساخت یک عامل مشترک فراتر از ماتریس. در این مورد، هر عنصر ماتریس به تعداد $ \\ lambda $ تقسیم می شود و در مقابل ماتریس حذف می شود.

خواص

قانون توزیع نسبت به ماتریس ها: $$ \\ Lambda \\ CDOT (A + B) \u003d \\ Lambda A + \\ Lambda B $$ ضرب از مقدار ماتریس به تعداد می تواند با مقدار آثار هر ماتریس فرد به این جایگزین شود عدد
قانون توزیع نسبت به اعداد واقعی (یکپارچه): $$ (\\ Lambda + \\ mu) \\ cdot a \u003d \\ lambda a + \\ mu a $$ ضرب از ماتریس در مقدار اعداد را می توان با مقدار آثار هر عدد در ماتریس
قانون انجمنی: $$ \\ Lambda \\ CDOT (\\ mu \\ cdot a) \u003d (\\ lambda \\ cdot \\ mu) a $$ مناسب است استفاده کنید اگر شما نیاز به چند برابر مشترک از ماتریس در مقابل آن، با دامنه در حال حاضر در مقابل ضریب فناوری اطلاعات ایستاده است
یک شماره ویژه $ \\ lambda \u003d 1 $ وجود دارد، به لطف که ماتریس باقی می ماند بدون تغییر $$ 1 \\ cdot a \u003d a \\ cdot 1 \u003d a $ $
ضرب ماتریس به صفر منجر به این واقعیت می شود که هر عنصر ماتریس بازنشانی می شود و ماتریس صفر همان ابعاد است که در ابتدا بود: $$ 0 \\ cdot a \u003d 0 $$

نمونه هایی از راه حل ها

مثال
این به $ a \u003d \\ begin (pmatrix) 2 و -1 و 4 \\\\ 0 و 9 و 3 \\\\ - 2 و -3 و 5 \\ end (pmatrix) $ و شماره واقعی $ \\ lambda \u003d $ 2 داده شده است. تعداد را در ماتریس ضرب کنید.
تصمیم
ما عملیات ریاضی ضرب را بنویسیم و در عین حال ما قانون را که می خوانیم به یاد می آوریم: ماتریس با عنصر شماره ضرب می شود. $$ \\ lambda \\ cdot a \u003d 2 \\ cdot \\ begin (pmatrix) 2 و -1 و 4 \\\\ 0 و 9 و 3 \\\\ - 2 و -3 و 3 \\ end (pmatrix) \u003d \\ begin (pmatrix) 2 \\ CDOT 2 & 2 \\ CDOT (-1) و 2 / CDOT 4 \\\\ 2 \\ CDOT 0 & 2 \\ CDOT 9 & 2 \\ CDOT 3 \\\\ 2 \\ CDOT (-2) و 2 / CDOT (-3) & 2 \\ cdot 5 \\ ed (pmatrix) \u003d $$ $$ \u003d \\ شروع (PMATRIX) 4 و -2 و 8 \\\\ 0 & 18 و 6 \\\\ - 4 و -6 و 10 \\ end (PMATRIX) $$ در نتیجه، ما می بینیم که هر شماره ای که در ماتریس ایستاده است، به سمت مقدار اولیه دو برابر شده است. اگر کار شما را حل کند، آن را به ما ارسال کنید. ما یک تصمیم دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید خود را با دوره محاسبه و یادگیری اطلاعات آشنا کنید. این به موقع در معلم کمک خواهد کرد!
پاسخ
$$ \\ lambda \\ cdot a \u003d \\ begin (pmatrix) 4 و -2 و 8 \\\\ 0 و 18 و 6 \\\\ - 4 و -6 و 10 \\ end (pmatrix) $$

سخنرانی # 1

ماتریان

تعریف و انواع ماتریس ها

تعریف 1.1.ماتریساندازه t. پیک جدول مستطیلی از اعداد (یا اشیاء دیگر) حاوی m.ردیف I. n.ستون ها.

به عنوان مثال، ماتریس ها (حروف بزرگ) حروف الفبا لاتین را تعیین می کنند a، b، c، ...اعداد (یا اشیاء دیگر)، ماتریس کامپوننت، نامیده می شوند عناصرماتریس عناصر ماتریس می توانند توابع باشند. برای نشان دادن عناصر ماتریس، حروف کوچک حروف الفبا لاتین با شاخص های دوگانه استفاده می شود: jجایی که اولین شاخص است من.(خواندن - و) - شماره ردیف، شاخص دوم ج(خواندن - zh) – شماره ستون

تعریف 1.2.ماتریس نامیده می شود مربع p-سفارش، اگر تعداد ردیف های آن برابر با تعداد ستون ها باشد و به همان اندازه همان شماره باشد پ

مفاهیم برای یک ماتریس مربع معرفی شده اند اصلی و نامطلوبمورب

تعریف 1.3.خانه موربماتریس مربع شامل عناصری است که دارای شاخص های مشابه هستند، I.E .. این موارد هستند: آ.11، 22، ...

تعریف 1.4. مورباگر تمام عناصر به جز عناصر اصلی مورب صفر باشند

تعریف 1.5.ماتریس مربع نامیده می شود مثلثیاگر تمام عناصر آن زیر (یا بالاتر) مورب اصلی صفر باشد.

تعریف 1.6.ماتریس مربع پ-سفارش، که در آن تمام عناصر اصلی مورب برابر با یکسان هستند، و بقیه صفر هستند تنهاماتریس n.-o نظم و این نامه نشان داده شده است E.

تعریف 1.7.ماتریس هر اندازه نامیده می شود خالی،یا ماتریس صفراگر تمام عناصر آن صفر باشند.

تعریف 1.8.ماتریس متشکل از یک خط نامیده می شود ردیف ماتریس

تعریف 1.9.ماتریس متشکل از یک ستون نامیده می شود ماتریس ستون

a \u003d (و11 ولی12 ... ولی1n) -ماتریس رشته؛

تعریف 1.10دو ماتریس ولیو که دراندازه های یکسان نامیده می شود برابراگر تمام عناصر مربوطه این ماتریسها برابر باشند، به همین ترتیب aij \u003d bij.برای هرکس من.= 1, 2, ..., t؛ j \u003d.1, 2,…, n..

عملیات در ماتریس

بیش از ماتریس ها، به عنوان بیش از اعداد، شما می توانید تعدادی از عملیات را تولید کنید. عملیات اصلی بیش از ماتریس علاوه بر (تفریق) ماتریس ها، ضرب ماتریس به تعداد، ضرب ماتریس ها. این عملیات شبیه به عملیات بیش از اعداد است. عملیات خاص - انتقال ماتریس.

ضرب ماتریس به تعداد

تعریف 1.11.کار ماتریس و شمارهλ ماتریس نامیده می شود در \u003d a،عناصر آن توسط عناصر ضرب شده برنج به دست می آیند ولیتوسط شماره λ. .

مثال 1.1کار ماتریس را پیدا کنید a \u003d. شماره 5

تصمیم. . \u003d 5A \u003d.

ماتریس قانون ضرب توسط شماره: برای ضرب ماتریس به تعداد، شما باید بر روی این شماره تمام عناصر ماتریس ضرب کنید.

نتیجه گیری

1. ضریب کل تمام عناصر ماتریس را می توان برای نشانه ماتریس حذف کرد.

2. کار ماتریس ولیتوسط شماره 0 یک ماتریس صفر وجود دارد: ولی· 0 = 0 .

اضافه کردن ماتریس ها

تعریف 1.12مجموع دو ماتریس A و INهم اندازه t n.ماتریس نامیده می شود از جانب= ولی+ که درعناصر آن با اضافه کردن عناصر مربوطه ماتریس به دست می آیند ولیو ماتریس که در، به عنوان مثال cij \u003d aij + bijبرای من \u003d1, 2, ..., m.; ج= 1, 2, ..., n.(به عنوان مثال، ماتریس ها به طور متناوب خطاب می شوند).

نتیجه گیریمقدار ماتریس ولیبا یک ماتریس صفر برابر با ماتریس اصلی است: A + O \u003d A.

1.2.3. تفریق ماتریس ها

تفاوت دو ماتریسهمان اندازه از طریق عملیات پیش از عملیات تعیین می شود: a - b \u003d a + (-1)که در.

تعریف 1.13.ماتریکس -A \u003d (-1)ولیبه نام مخالفماتریس ولی.

نتیجه گیریمجموع ماتریس های مخالف برابر با یک ماتریس صفر است : A + (-A) \u003d O.

ضرب ماتریس

تعریف 1.14.ضرب ماتریس A در ماتریس درتعیین می شود زمانی که تعداد ستون های اول ماتریس برابر با تعداد ردیف های ماتریس دوم برابر است. سپس کار ماتریساین ماتریس نامیده می شود , هر عنصر آن cijبرابر با مقدار آثار عناصر من.- خطوط ماتریس ولیدر عناصر مناسب جبه ستون ماتریس ب

مثال 1.4محاسبه کار ماتریس ها a · درجایی که

a \u003d.

مثال 1.5پیدا کردن آثار ماتریس auو بابجایی که

نظرات.از نمونه های 1.4-1.5 این بدان معنی است که ضرب ماتریس ها دارای برخی از تفاوت های ضرب اعداد است:

1) اگر کار ماتریس ها باشد auپس از بازسازی عوامل در مکان های ماتریس وجود دارد V.ممکن است وجود نداشته باشد در واقع، به عنوان مثال 1.4، محصول ماتریس AB وجود دارد، و محصول WA موجود نیست؛

2) اگر حتی کار می کند auو V.وجود دارد، نتیجه کار ممکن است ماتریس های اندازه های مختلف باشد. در مورد زمانی که هر دو کار می کنند auو V.هر دو هر دو ماتریس از همان اندازه وجود دارد (این تنها زمانی ممکن است هنگام ضرب ماتریس مربع یک سفارش)، تعویض (حرکت) قانون ضرب هنوز انجام نشده است،کسانی که. یک ب در یک، همانطور که در مثال 1.5;

3) با این حال، اگر شما یک ماتریس مربع را چند برابر کنید ولیدر یک ماتریس واحد E.از همان سفارش پس از آن ae \u003d ea \u003d A.

بنابراین، یک ماتریس واحد زمانی که ضرب Matrices نقش مشابهی را به عنوان شماره 1 با ضرب اعداد بازی می کند؛

4) محصول دو ماتریس غیر صفر می تواند برابر با یک ماتریس صفر باشد، به عنوان مثال از این واقعیت که یک ب\u003d 0، آن را دنبال نمی کند a \u003d.0 یا b \u003d.0.

این راهنمای روش شناختی به شما کمک خواهد کرد تا یاد بگیرید که انجام دهید اقدامات با ماتریس: اضافه کردن (تفریق) ماتریس، ماتریس انتقال، ضرب ماتریس، پیدا کردن ماتریس معکوس. تمام مواد در یک فرم ساده و قابل دسترس قرار می گیرند، نمونه های مناسب داده شده است، بنابراین حتی یک فرد آماده آماده شده قادر به یادگیری اقدامات با ماتریس خواهد بود. برای خود کنترل و خود تست شما می توانید ماشین حساب ماتریس را به صورت رایگان دانلود کنید \u003e\u003e\u003e.

من سعی خواهم کرد تا محاسبات نظری، در برخی از نقاط، توضیحات "روی انگشتان" و استفاده از شرایط غیر اخلاقی را به حداقل برسانم. دوستداران یک نظریه جامع، لطفا انتقاد نکنید، وظیفه ما این است یاد بگیرید که اقدام را با ماتریس انجام دهید.

برای آماده سازی فوق العاده سریع در موضوع (که "سوزاندن") یک دوره PDF شدید وجود دارد ماتریس، تعیین کننده و ایستاده!

ماتریس یک جدول مستطیلی از هر کدام است عناصر. مانند عناصر ما تعداد را در نظر خواهیم گرفت، یعنی ماتریس های عددی. عنصر - این اصطلاح است. این اصطلاح توصیه می شود به یاد داشته باشید، اغلب ملاقات خواهد کرد، این شانس نیست که من از فونت چربی استفاده کنم تا آن را برجسته کنم.

تعیین: ماتریس ها معمولا با حروف بزرگ لاتین نشان می دهند

مثال: ماتریس "دو سه" را در نظر بگیرید:

این ماتریس شامل شش است عناصر:

تمام اعداد (عناصر) داخل ماتریس در خود وجود دارد، یعنی، هیچ کس از سخنرانی نمی رود:

این فقط یک جدول (مجموعه) اعداد است!

همچنین موافقم تنظیم مجدد نکنید اعداد، مگر اینکه در غیر این صورت ذکر شود. هر شماره موقعیت خود را دارد و آنها نمی توانند از بین بروند!

ماتریس تحت نظر دو خط دارد:

و سه ستون:

استاندارد: هنگامی که آنها در مورد اندازه ماتریس صحبت می کنند، سپس اولین تعداد ردیف ها را نشان می دهد، و تنها پس از آن - تعداد ستون ها. ما فقط استخوان های "دو سه" ماتریس را جدا کرده ایم.

اگر تعداد ردیف ها و ستون های ماتریس هماهنگ باشند، سپس ماتریس نامیده می شود مربع، به عنوان مثال: - ماتریس "سه سه".

اگر در یک ستون ماتریس یا یک خط، چنین ماتریس ها نیز نامیده می شوند بردار.

در واقع، مفهوم ماتریس، ما از مدرسه می دانیم، به عنوان مثال، یک نقطه با مختصات "X" و "Igrek" را در نظر می گیریم :. اساسا، مختصات نقطه در ماتریس "یک و دو" ثبت می شود. به هر حال، در اینجا مثال، چرا سفارش اعداد مهم است: و دو نقطه کاملا متفاوت از هواپیما هستند.

حالا به طور مستقیم به مطالعه بروید اقدامات با ماتریس:

1) اولین اقدام. رسیدن به منفی از ماتریس (ساخت منهای در ماتریس).

بازگشت به ماتریس ما . همانطور که احتمالا متوجه شدید، تعداد منفی بیش از حد در این ماتریس وجود دارد. از لحاظ انجام اقدامات مختلف با ماتریس بسیار ناراحت کننده است، این ناخوشایند است که به عنوان بسیاری از معایب بنویسید، و فقط به نظر می رسد زشت در طراحی.

من منهای فراتر از ماتریس را تغییر خواهم داد، هر عنصر علامت ماتریس را تغییر خواهم داد:

اولی، همانطور که می فهمید، علامت تغییر نمی کند، صفر - او و در آفریقا صفر است.

مثال خوراک: . به نظر می رسد زشت

ما منفی را در ماتریس ایجاد می کنیم، ماتریس هر عنصر را تغییر می دهیم:

خوب، معلوم شد بسیار زیبا تر. و مهمتر از همه، انجام هر گونه اقداماتی با ماتریس آسان تر خواهد بود. از آنجا که چنین نشانه ای از ریاضی وجود دارد: معایب بیشتر - سردرگمی و اشتباهات بیشتر.

2) اقدام دوم ضرب ماتریس به تعداد.

مثال:

همه چیز ساده است تا ماتریس را در شماره ضرب کنید، شما نیاز دارید هر کس عنصر ماتریس به یک عدد داده شده ضرب می شود. در این مورد، در سه بالا.

یکی دیگر از نمونه های مفید:

- ضرب ماتریس برای کسری

ابتدا آنچه را که باید انجام دهید را در نظر بگیرید انجام ندهید:

شما نیازی به ورود به ماتریس ندارید، اولا، فقط برای اقدام بیشتر با ماتریس، دوم، دشوار است که تصمیم معلم را بررسی کنیم (به ویژه اگر - پاسخ نهایی پاسخ).

و به ویژه انجام ندهید هر عنصر ماتریس را برای منهای هفتم به اشتراک بگذارید:

از مقاله ریاضیات برای dummies یا شروع به شروعما به یاد می آوریم که کسرهای دهدهی با کاما در ریاضیات بالاتر تلاش می کنند تا از هر راه جلوگیری کنند.

تنها چیزی که مطلوب در این مثال - برای ایجاد یک منهای در ماتریس:

اما اگر همه چيز عناصر ماتریس به 7 تقسیم شدند بدون باقی ماندهسپس شما می توانید (و شما نیاز دارید!) تقسیم می شود.

مثال:

در این مورد، شما می توانید و نیاز به تمام عناصر ماتریس را چند برابر کنید، زیرا تمام تعداد ماتریسها به 2 تقسیم می شوند بدون باقی مانده.

نکته: در تئوری ریاضیات بالاتر، مفهوم مدرسه "تقسیم" نیست. به جای عبارت "این به آن تقسیم شده است" همیشه می تواند گفت: "ضرب با کسری". به عبارت دیگر، بخش یک مورد خاص از ضرب است.

3) اقدام سوم. انتقال ماتریس.

به منظور انتقال ماتریس، شما باید خطوط خود را به ستون ماتریس منتقل کنید.

مثال:

ماتریس انتقال

خط در اینجا تنها یک است و، با توجه به قانون، باید به ستون نوشته شود:

- ماتریس منتقل شده

ماتریس منتقل شده معمولا توسط یک شاخص ناگهانی یا یک لمس در بالا نشان داده شده است.

گام به گام مثال:

ماتریس انتقال

اول، اولین رشته را به ستون اول بازنویسی کنید:

سپس رشته دوم را در ستون دوم بازنویسی کنید:

و در نهایت، رشته سوم را در ستون سوم بازنویسی کنید:

آماده. تقریبا صحبت کردن، انتقال - به معنای تبدیل ماتریس طرف است.

4) اقدام چهارم مقدار (تفاوت) ماتریس.

مقدار ماتریس عمل ساده است.
نه همه ماتریس ها می توانند بسته شوند. برای انجام افزودن ماتریس (تفریق)، لازم است که آنها یکسان باشند.

به عنوان مثال، اگر ماتریس "دو تا دو" داده شود، آن را تنها می تواند با "دو دو دو" ماتریس و هیچ چیز دیگری پیچیده شود!

مثال:

ماتریس ها را بشویید و

به منظور جلوگیری از ماتریس، ضروری است که عناصر مربوطه خود را از بین ببریم.:

برای تفاوت ماتریس ها، قانون مشابه است لازم است تفاوت بین عناصر مربوطه را پیدا کنید..

مثال:

ماتریس تفاوت را پیدا کنید ,

و چگونه برای حل این مثال آسان تر از اشتباه نیست؟ توصیه می شود از بین بردن معایب اضافی خلاص شوید، زیرا ما در ماتریس منفی می کنیم:

توجه: در تئوری ریاضیات بالاتر، مفهوم مدرسه "تفریق" نیست. به جای عبارت "از این، همیشه می توان گفت:" به این مقدار منفی اضافه شده است. " به عبارت دیگر، تفریق یک مورد خاص از علاوه بر این است.

5) اقدام پنجم ضرب ماتریس.

چه ماتریس ها می توانند ضرب شوند؟

برای ساخت ماتریس شما می توانید در ماتریس که نیاز دارید ضرب کنید، به طوری که تعداد ستون های ماتریس برابر با تعداد رشته های ماتریس است.

مثال:
آیا می توان ماتریس را در ماتریس چند برابر کرد؟