Si të shumëzoni fraksionin në matricën. Veprimet me matricat

Në këtë temë, operacionet si shtimi dhe zbritja e matricave do të konsiderohen, duke shumëzuar matricën në numër, duke shumëzuar matricën në matricë, transpozimin e matricës. Të gjitha simbolet që përdoren në këtë faqe merren nga tema e mëparshme.

Shtesë dhe zbritjen e matricave.

Shuma e $ A + B $ matrices $ A_ (M \\ Times N) \u003d (A_ (IJ)) $ dhe $ b_ (m \\ herë n) \u003d (b_ (ij)) quajtur matrica $ c_ (m \\ Herë n) \u003d (c_ (IJ)) $, ku $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) + b_ (ij) $ për të gjitha $ i \u003d \\ overline (1, m) $ dhe $ j \u003d \\ overline (1 , N) $.

Një përkufizim i ngjashëm është futur për ndryshimin e matricave:

Diferenca $ AB $ matrices $ A_ (M \\ Times N) \u003d (A_ (IJ)) $ dhe $ b_ (m \\ herë n) \u003d (B_ (IJ) $ quajtur matrica $ c_ (m \\ herë n) \u003d (c_ (ij)) $, ku $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) -b_ (ij) $ për të gjitha $ i \u003d \\ overline (1, m) $ dhe $ j \u003d \\ overline (1, n) $.

Shpjegimi i rekord $ I \u003d \\ Overline (1, M) $: Show / Hide

Regjistrimi "$ i \u003d \\ overline (1, m) $" do të thotë që parametri $ i $ varion nga 1 në m. Për shembull, rekordi $ i \u003d \\ overline (1.5) $ tregon se parametri $ i $ merr vlerat 1, 2, 3, 4, 5.

Vlen të përmendet se operacionet shtesë dhe të zbritjes përcaktohen vetëm për matricat e të njëjtës madhësi. Në përgjithësi, shtimi dhe zbritja e matricave - operacionet e qarta në mënyrë intuitive, sepse ata do të thotë, në fakt, vetëm përmbledhjen ose zbritjen e elementeve përkatëse.

Shembull №1

Janë dhënë tre matrice:

$$ A \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ fund (array) \\ drejtë) \\; \\; B \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ fund (array) \\ drejtë); \\; \\; \\; F \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (cc) 1 & 0 \\\\ -5 & 4 \\ fund (array) \\ drejtë). $$.

A është e mundur për të gjetur matricën $ A + F $? Gjeni matricat $ c $ dhe $ d $ nëse $ c \u003d A + B $ dhe $ d \u003d a-b $.

$ A $ Matrix përmban 2 rreshta dhe 3 kolona (me fjalë të tjera - madhësia e matricës $ A $ është $ 2 \\ herë $ 3), dhe matrica $ f përmban 2 linja dhe 2 kolona. Dimensionet e matricës $ A $ dhe $ f $ nuk përkojnë, kështu që ne nuk mund t'i shtojmë ato, i.e. Operacioni $ A + F $ për këto matrice nuk është përcaktuar.

Dimensionet e matricave $ A $ dhe $ b $ përkon, i.e. Këto matricë përmbajnë një numër të barabartë të rreshtave dhe kolonave, kështu që operacioni shtesë është i zbatueshëm për ta.

$$ C \u003d A + B \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ fund (array) \\ drejtë) + \\ majtas (\\ fillojnë ( ) (KKK) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\\\ \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\\\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ fund (array) \\ drejtë) $$

Ne gjejmë matricën $ d \u003d a-b $:

$$ d \u003d ab \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ fund (array) \\ drejtë) - majtas (\\ fillojnë (array) ( CCC) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\\\ \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\\\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -11 & 23 & -97 \\ \\ 2 & 9 & 6 \\ fund (array) \\ drejtë) $$

Përgjigje: $ C \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ fund (array) \\ drejtë) $, $ d \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (KKK) -11 & 23 & -97 \\\\ 2 & 9 & 6 \\ fund (array) \\ drejtë) $.

Multiplying Matrix sipas numrit.

Produkti i matricës $ a_ (m \\ herë n) \u003d (A_ (IJ)) nga numri $ \\ alpha $ është quajtur $ b_ matricë (m \\ herë n) \u003d (b_ (ij)) $, ku $ b_ (ij) \u003d \\ alpha \\ cdot a_ (ij) $ për të gjitha $ i \u003d \\ overline (1, m) $ dhe $ j \u003d \\ overline (1, n) $.

Thjesht vendosni, shumëfishoni matricën në një numër të caktuar - do të thotë duke shumëzuar çdo element të një matricë të caktuar për këtë numër.

Shembull Numri 2.

Matrica është vendosur: $ A \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ fund (array) \\ drejtë) $. Gjeni matricat $ 3 \\ cdot A $, $ -5 \\ cdot A $ dhe $ -A $.

$$ 3 \\ cdot a \u003d 3 \\ cdot \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (array) \\ drejtë) \u003d \\ majtas (\\ fillojnë ( Array) (CCC) 3 \\ CDOT (-1) & 3 \\ cdot (-2) & 3 \\ cdot 7 \\\\ 3 \\ cdot 4 & 3 \\ cdot 9 & 3 \\ cdot 0 \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\ Majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ fund (array) \\ drejtë). \\\\ -5 \\ cdot a \u003d -5 \\ cdot \\ majtas (\\ Filloni (array) (CCC) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -5 \\ cdot (-1) & - 5 \\ cdot (-2) & -5 \\ cdot 7 \\\\ -5 \\ cdot 4 & -5 \\ cdot 9 & -5 \\ cdot 0 \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (KKK) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ fund (array) \\ drejtë). $$.

Regjistrimi $ - $ ka një hyrje të shkurtuar për $ -1 \\ cdot A $. Ata. Për të gjetur $ -P $ ju duhet të gjitha elementet e matricës $ A $ shumëfishohen në (-1). Në thelb, kjo do të thotë se shenja e të gjitha elementeve të $ një matricë $ do të ndryshojë në të kundërtën:

$$ - -1 \\ cdot A \u003d -1 \\ cdot \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\ majtas ( \\ Fillojnë (array) (CCC) 1 & 2 & -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ fund (array) \\ drejtë) $$

Përgjigje: $ 3 \\ cdot A \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ fund (array) \\ drejtë); \\; -5 \\ cdot A \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ fund (array) \\ drejtë); \\; -A \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCC) 1 & 2 & -9 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ fund (array) \\ drejtë) $.

Produkt i dy matricave.

Përkufizimi i këtij operacioni është i rëndë dhe, në shikim të parë, nuk është e qartë. Prandaj, së pari tregojnë një përkufizim të përgjithshëm, dhe pastaj do të analizojmë në detaje se çfarë do të thotë dhe si të punojmë me të.

Produkti i matricës $ a_ (m \\ herë n) \u003d (a_ (ij)) $ në matricën $ b_ (n \\ herë k) \u003d (b_ (i (ij)) e quajtur matrica $ c_ (m \\ herë k ) \u003d (C_ (IJ)) për të cilën çdo element $ c_ (IJ) $ është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatëse të linjës së I-T të matricës $ A $ mbi elementet e J-T-së Kolona e matricës $ b $: $$ c_ (ij) \u003d \\ shuma \\ limits_ (p \u003d 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \\; \\; i \u003d \\ overline (1, m), j \u003d \\ overline (1, n). $$

Plotësimi hap pas hapi i matricave do të analizojë në shembullin. Megjithatë, duhet t'i kushtoni vëmendje menjëherë se si të mos shumohen të gjitha matricat. Nëse duam të shumëfishojmë një matricë $ A $ në një matricë $ B $, atëherë së pari ju duhet të siguroheni që numri i kolonave të matricës $ A $ është i barabartë me numrin e linjave të $ b $ matricës (të tilla matricat shpesh quhen në përputhje). Për shembull, matrica $ A_ (5 \\ Times 4) $ (Matrix përmban 5 rreshta dhe 4 kolona), ju nuk mund të shumëzoni në $ f_ matrix (9 \\ herë 8) $ (9 rreshta dhe 8 kolona), që nga Numri i kolonave të $ një matricë $ nuk është e barabartë me numrin e linjave të matricës prej $ f $, i.e. $ 4 \\ neq $ 9. Por shumëfishoni matricën $ a_ (5 \\ herë 4) $ në $ b_ matrix (4 \\ herë 9) $ mund, pasi numri i kolonave të $ një matricë $ është e barabartë me numrin e linjave të $ B $ matricë. Në këtë rast, rezultati i shumëzimit të matricave $ A_ (5 \\ Times 4) $ dhe $ B_ (4 \\ Times 9) $ do të jetë një $ C_ (5 \\ Times 9) $ Matrix që përmban 5 rreshta dhe 9 kolona:

Shembull Numri 3.

Matrixes janë dhënë: $ a \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCCC) -1 & 2 & -3 & -2 & -2 & -2 & 1 \\\\ 5 & 4 & -10 dhe -5 & -10-9 -5 \\ Ed (array) \\ drejtë) $ dhe $ b \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ fund (array) \\ drejtë ) $. Gjeni matricën $ c \u003d a \\ cdot b $.

Për të filluar, ne menjëherë përcaktojmë madhësinë e matricës $ c $. Që prej $ një matricë $ ka një madhësi $ 3 \\ herë $ 4, dhe matricë $ b $ ka një madhësi prej $ 4 \\ herë $ 2, atëherë madhësia e $ c $ matricë është: $ 3 \\ herë $ 2:

Pra, si rezultat i punës së matricave $ një $ dhe $ b $, ne duhet të marrim një matricë $ c $, e përbërë nga tre rreshta dhe dy kolona: $ c \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (cc) C_ (11) & c_ (12) \\\\ c_ (21) & c_ (22) \\\\ c_ (31) & c_ (32) \\ fund (array) \\ drejtë) $. Nëse përcaktimet e elementeve shkaktojnë pyetje, atëherë mund të shikoni temën e mëparshme: "Matrices. Llojet e matricave. Kushtet kryesore", në fillim të të cilave shpjegohet përcaktimi i elementeve të matricës. Qëllimi ynë: të gjejmë vlerat e të gjitha elementeve të matricës $ C $.

Le të fillojmë me një element $ c_ (11) $. Për të marrë një element $ c_ (11) $ ju duhet të gjeni shumën e veprave të vargut të parë të një matricë $ A $ dhe kolonën e parë të $ b $ matricë:

Për të gjetur vetë elementin $ c_ (11) $, shumohen elementet e vijës së parë të matricës $ A $ për elementet përkatëse të kolonës së parë të $ b Matrix, I.E. Elementi i parë për të parën, i dyti në të dytën, të tretën për të tretën, të katërtën në të katërtën. Rezultatet janë përmbledhur:

$$ c_ (11) \u003d - 1 \\ cdot (-9) +2 \\ cdot 6 + (- 3) \\ cdot 7 + 0 \\ cdot 12 \u003d 0. $$.

Ne vazhdojmë vendimin dhe gjejmë $ c_ (12) $. Për ta bërë këtë, shumëfishoni elementet e vijës së parë të $ një matricë $ dhe kolona e dytë e matricës $ b $:

Ngjashëm me të mëparshmen, ne kemi:

$$ C_ (12) \u003d - 1 \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 20 + (- 3) \\ cdot 0 + 0 \\ cdot (-4) \u003d 37. $$.

Të gjitha elementet e vijës së parë të matricës $ C $ janë gjetur. Shkoni në vijën e dytë, e cila fillon elementin $ c_ (21) $. Për të gjetur se do të duhet të shumëzohen elementet e vijës së dytë të matricës $ A $ dhe kolonës së parë të kolonës $ B. Matrix:

$$ c_ (21) \u003d 5 \\ cdot (-9) +4 \\ cdot 6 + (- 2) \\ cdot 7 + 1 \\ cdot 12 \u003d -23. $$.

Elementi tjetër $ C_ (22) $ Ne gjejmë, duke shumëfishuar elementet e vargut të dytë të $ një matricë $ në elementet përkatëse të kolonës së dytë të matricës $ b $:

$$ c_ (22) \u003d 5 \\ cdot 3 + 4 \\ cdot 20 + (- 2) \\ cdot 0 + 1 \\ cdot (-4) \u003d 91. $$.

Për të gjetur $ c_ (31) $ mamondrize elementet e vijës së tretë të matricës $ A $ mbi elementet e kolonës së parë të kolonës $ B. Matrix:

$$ c_ (31) \u003d - 8 \\ cdot (-9) +11 \\ cdot 6 + (- 10) \\ cdot 7 + (-5) \\ cdot 12 \u003d 8. $$.

Dhe së fundi, për të gjetur një element $ c_ (32) $ ne do të duhet të shumëfishojmë elementet e vijës së tretë të $ një matricë $ në elementet përkatëse të kolonës së dytë të $ b Matrix:

$$ C_ (32) \u003d - 8 \\ cdot 3 + 11 \\ cdot 20 + (- 10) \\ cdot 0 + (-5) \\ cdot (-4) \u003d 216. $$.

Të gjitha elementet e matricës $ c $ c $ janë gjetur vetëm për të shkruar atë $ c \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ fund (array ) \\ DREJTA) $. Ose, nëse shkruan plotësisht:

$$ C \u003d A \\ CDOT B \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CCCC) -1 & 2 & -3 & -2 & 0 \\\\ 5 & 4 &- 1 \\\\ 5 & 14 & -10 e- 5 \\ fund (array) \\ drejtë) \\ cdot \\ majtas (\\ fillojnë (array) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\ ed & 0 \\\\ 12 & -4 \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\ Majtas (\\ fillojnë (array) (CC) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ fund (array) \\ drejtë). $$.

Përgjigje: $ C \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CC) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ fund (array) \\ drejtë) $.

Nga rruga, shpesh nuk ka arsye për të pikturuar në detaje gjetjen e çdo elementi të matricës së rezultatit. Për matricat, madhësia e të cilave është e vogël, mund të bëhet kështu:

$$ \\ majtas (\\ fillojnë (array) (CC) 6 & 3 \\\\ -17 & -2 \\-\\ fund (array) \\ drejtë \\ cdot \\ majtas (\\ fillojnë (array) (cc) 4 & 9 \\\\ - 6 & 90 \\ end (array) \\ drejtë) \u003d \\ majtas (\\ fillojnë (array) (cc) 6 \\ cdot (4) +3 \\ cdot (-6) & 6 \\ cdot (9) +3 \\ cdot (90) \\\\ -17 \\ cdot (4) + (- 2) \\ cdot (-6) & -17 \\ cdot (9) + (- 2) \\ cdot (90) \\ fund (array) \\ drejtë) \u003d \\ majtas ( \\ Fillojnë (array) (cc) 6 & 324 \\\\ -56 & -333 \\ fund (array) \\ drejtë) $$

Vlen gjithashtu të përmendet se shumëzimi i matricave është jo-komutues. Kjo do të thotë se në rastin e përgjithshëm $ a \\ cdot b \\ neq b \\ cdot a $. Vetëm për disa lloje të matricave që quhen i riorganizuar (ose commuting), barazia është $ a \\ cdot b \u003d b \\ cdot a $. Ajo bazohet në moskomuntivitetin e shumëzimit, kërkohet të tregojë saktësisht se si ne jemi dominues ndaj shprehjes në ose një matricë tjetër: të drejtë ose të majtë. Për shembull, fraza "të dyja pjesët e barazisë $ 3E-f \u003d y $ në një $ A $ matricë të drejtë" do të thotë se është e nevojshme për të marrë një barazi të tillë: $ (3E-f) \\ cdot a \u003d y \\ cdot A $ .

Transpozuar në lidhje me matricën $ a_ (m \\ herë n) \u003d (A_ (IJ)) të quajtur matrica $ a_ (n \\ herë m) ^ (t) \u003d (A_ (IJ) ^ (t)) Elementet që $ A_ (IJ) ^ (t) \u003d a_ (ji) $.

Thjesht, për të marrë një matricë të transpozuar $ a ^ t $, ju duhet të zëvendësoni kolonat në matricën origjinale prej $ A $ për të zëvendësuar kolonat me vargjet përkatëse për këtë parim: vija e parë ishte kolona e parë; Kishte vijën e dytë - do të jetë kolona e dytë; Kishte një vijë të tretë - kolona e tretë do të bëhet e kështu me radhë. Për shembull, ne gjejmë një matricë të transpozuar në matricën $ A_ (3 \\ herë 5) $:

Prandaj, nëse matrica burimore kishte një madhësi prej $ 3 \\ herë $ 5, atëherë matrica e transpozuar ka një madhësi prej $ 5 \\ herë 3 $.

Disa vetitë e operacioneve mbi matricat.

Është supozuar këtu se $ \\ alfa $, $ \\ beta $ janë disa numra, dhe $ A $, $ b $, $ C $ - matricë. Për katër pronat e para, unë specifikova emrat, pjesa tjetër mund të thirret nga analogjia me katër të parët.

Në mënyrë që të prodhojë shumëzim të matricës A në një numër arbitrar α, keni nevojë për elementet e matricës A. Multiply në numrin α, i.E. Puna e matricës në numrin do të jetë si më poshtë:

Shembulli 1. Gjeni një matricë 3. A.për matricën

Vendimi. Në përputhje me përkufizimin e shumëzimit të elementeve të matricës A. 3 dhe të marrë

Ishte një shembull krejtësisht i thjeshtë për të shumëfishuar matricën me një numër me numra të plotë. Ka edhe shembuj të thjeshtë përpara, por tashmë, ku midis shumëzuesve dhe elementeve të matricave - fraksioneve, variablave (shënim letre), sepse ligjet e shumëzimit veprojnë jo vetëm për numrat e numrave të plotë, kështu që nuk është kurrë e dëmshme për t'i përsëritur ato.

Shembulli 2. A. nga numri α nëse
, .

A. Në α, duke mos harruar se me shumëzimin e fraksioneve, numëruesi i fraksionit të parë është shumëzuar me numrin e fraksionit të parë dhe produkti është shkruar tek numeratori, dhe emëruesi i fraksionit të parë shumëzohet me kanalin e dytë fraksioni dhe produkti i është shkruar emëruesit. Pas marrjes së elementit të dytë të vijës së parë të një matrice të re, fraksioni që rezulton u zvogëlua me 2, duhet të bëhet. Marr

Shembulli 3. Kryeni shumëzimin e matricës A. nga numri α nëse
, .

Vendimi. Multiply elementet e matricës A. Në α, duke mos u shkatërruar në shënimin e letrës, pa harruar të lini një minus para elementit të dytë të vijës së dytë të matricës së re, dhe mos harroni se rezultati i shumëzimit të numrit të numrit në të është ekziston një njësi ( elementi i parë i vijës së tretë). Marr

.

Shembull 4. Kryeni shumëzimin e matricës A. nga numri α nëse
, .

Vendimi. Ne kujtojmë se me shumëzimin e numrit deri në shkallën e numrit të treguesve të shkallës shtohen. Marr

.

Ky shembull, ndër të tjera, tregon qartë se veprimet e shumëzimit të matricës në një numër mund të lexohen (dhe regjistrohen) në mënyrë të kundërt dhe quhet atë nga zhargonja e një faktor të vazhdueshëm para matricës.

Në kombinim të S. shtimi dhe zbritja e matricave Funksionimi i shumëzimit të matricës në numrin mund të formojë shprehje të ndryshme të matricës, për shembull, 5 A. − 3B. , 4A. + 2B. .

Pronat e shumëzimit të matricës

(këtu a, b - matricat, - numrat, 1 - numër një)

1.

2.

3.

Prona (1) dhe (2) lidhin shumëzimin e matricës me një numër me shtimin e matricave. Ekziston gjithashtu një lidhje shumë e rëndësishme midis shumëzimit të matricës në numrin dhe shumëzimin e vetë matricave:

i.E. Nëse në punën e matricave një nga shumëfishuesit është shumëzuar me numrin, atëherë të gjithë punët do të shumohen me numrin.

Shumëzimi i matricës në numrin - Ky është një operacion në matricën, si rezultat i të cilit secili element shumëzohet me një numër të vlefshëm ose kompleks. Duket se gjuha matematikore është:

$$ b \u003d \\ lambda \\ cdot a \\ rehardarrow b_ (ij) \u003d \\ lambda a_ (ij) $$

Vlen të përmendet se matrica që rezulton $ b $ si rezultat duhet të merret me të njëjtin dimension që matrica fillestare $ A $ ka poseduar. Ju gjithashtu mund t'i kushtoni vëmendje një fakti të tillë: $ \\ lambda \\ cdot a \u003d a \\ cdot \\ lambda $, dmth. Është e mundur të ndryshoni vendet e shumëfishuesve dhe kjo punë nuk do të ndryshojë.

Do të jetë e dobishme të përdorësh funksionimin e shumëzimit të matricës me numrin kur bën një faktor të përbashkët përtej matricës. Në këtë rast, çdo element i matricës është i ndarë në numrin e $ \\ lambda $, dhe është hequr para matricës.

Vetitë

1. Ligji i shpërndarjes në krahasim me matricat: $$ \\ lambda \\ CDOT (A + B) \u003d \\ lambda A + \\ lambda B Shumëzimi i shumës së matricave në numrin mund të zëvendësohet me shumën e punëve të çdo matrice individuale për këtë numër
2. Ligji i shpërndarjes në krahasim me numrat realë (të integruar): $$ (\\ lambda + \\ mu) \\ cdot a \u003d \\ lambda a + \\ mu a $$ Shumëzimi i matricës në shumën e numrave mund të zëvendësohet me shumën e punëve të Çdo numër në matricën
3. Ligji Associative: $$ \\ lambda \\ cdot (\\ mu \\ cdot a) \u003d (\\ lambda \\ cdot \\ mu) A $$ është e përshtatshme për t'u përdorur nëse keni nevojë për të bërë një shumëzues të zakonshëm nga matrica para saj, me të një fushë që tashmë po qëndron para koeficientit të tij
4. Ka një numër të veçantë $ \\ lambda \u003d 1 $, në sajë të së cilës matrica mbetet e pandryshuar $ $ 1 \\ cdot a \u003d a \\ cdot 1 \u003d a $$
5. Shumëzimi i matricës në zero çon në faktin se çdo element i matricave është rivendosur dhe matrica bëhet zero e të njëjtit dimension, i cili fillimisht ishte: $ 0 \\ cdot a \u003d 0 $$

Shembuj të zgjidhjeve

Shembull

Është dhënë $ A \u003d \\ fillojnë (PMATRIX) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ Fund (PMATRIX) $ dhe numri aktual $ \\ lambda \u003d $ 2. Shumëzoni numrin në matricën.

Vendim

Ne shkruajmë funksionimin matematikor të shumëzimit dhe në të njëjtën kohë ne kujtojmë rregullin që thotë: Matrica shumëzohet me elementin e numrit. $$ \\ lambda \\ cdot a \u003d 2 \\ cdot \\ fillojnë (PMATRIX) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ fund (PMATRIX) \u003d \\ fillojnë (PMATRIX) 2 \\ Cdot 2 & 2 \\ cdot (-1) dhe 2 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ cdot 0 & 2 \\ cdot 9 & 2 \\ cdot 3 \\\\ 2 \\ cdot (-2) & 2 \\ cdot (-3) dhe 2 \\ cdot 5 \\ ed (pmatrix) \u003d $$ $$ \u003d \\ fillojnë (PMATRIX) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ fund (PMATRIX) $ Si rezultat, shohim se secili numër që qëndron në matricë u dyfishua drejt vlerës fillestare. Nëse është e pamundur për të zgjidhur detyrën tuaj, atëherë dërgoni atë tek ne. Ne do të japim një vendim të hollësishëm. Ju mund të njiheni me rrjedhën e llogaritjes dhe të mësoni informacion. Kjo do të ndihmojë në kohën e duhur tek mësuesi!

Përgjigje

$$ \\ lambda \\ cdot a \u003d \\ fillojnë (PMATRIX) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 6 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ fund (PMATRIX) $

Leksion # 1.

Matricë

Përkufizimi dhe llojet e matricave

Përkufizimi 1.1.Matricëmadhësi t. pquajtur një tabelë drejtkëndore e numrave (ose objekteve të tjera) që përmbajnë m.rreshtat I. n.kolona.

Matricat janë caktuar (kapitalizuar) letra të alfabetit latin, për shembull, A, B, C, ...Numrat (ose objekte të tjera), matricën e komponentit, quhen elementetmatricë. Elementet e matricës mund të jenë funksione. Për të treguar elementet e matricës, përdoren shkronjat e vogla të alfabetit latin me indeksim të dyfishtë: aijku është indeksi i parë i.(Lexo - dhe) - Numri i rreshtit, indeksi i dytë j.(Lexo - Zh) – numri i kolonës.

Përkufizimi 1.2.Matrica quhet katror p-të rendit, nëse numri i rreshtave të saj është i barabartë me numrin e kolonave dhe në mënyrë të barabartë të njëjtin numër p

Konceptet janë futur për një matricë katrore kryesore dhe të kundërtadiagonale.

Përkufizimi 1.3.Shtëpi diagonalematrix katror përbëhet nga elemente që kanë të njëjtat indekse, i.e .. Këto janë artikuj: a.11, 22, ...

Përkufizimi 1.4. diagonalNëse të gjitha elementet përveç elementeve të diagonës kryesore janë zero

Përkufizimi 1.5.Matrix katror është quajtur trekëndëshNëse të gjitha elementet e saj më poshtë (ose më të larta) diagonale kryesore janë zero.

Përkufizimi 1.6.Matricë katrore p-rendit, në të cilin të gjitha elementet e diagonës kryesore janë të barabarta me një, dhe pjesa tjetër janë zero, të quajtur i vetëmmatricë n.- Rendi dhe tregohet nga letra E.

Përkufizimi 1.7.Matrica e çdo madhësie quhet i pavlefshëm,ose zero matricënëse të gjitha elementet e saj janë zero.

Përkufizimi 1.8.Matrica e përbërë nga një rresht është quajtur rresht matricë.

Përkufizimi 1.9.Matrica e përbërë nga një kolonë është quajtur matricë kolona.

A \u003d (dhe11 por12 ... por1n) -matrix String;

Përkufizimi 1.10.Dy matrice Pordhe NËsizes identike të quajtur i barabartënëse të gjitha elementet përkatëse të këtyre matricave janë të barabarta, dmth. aij \u003d bej.për këdo i.= 1, 2, ..., t; J \u003d.1, 2,…, n..

Operacionet në matricat

Mbi matricat, si mbi numrat, ju mund të prodhoni një numër operacionesh. Operacionet kryesore mbi matricat janë shtimi (zbritja) e matricave, duke shumëzuar matricën në numrin, shumëzimin e matricave. Këto operacione janë të ngjashme me operacionet mbi numrat. Operacioni specifik - transpozimi i matricës.

Shumëzimi i matricës në numrin

Përkufizimi 1.11.Puna e matricës dhe numritλ quhet matricë Në \u003d a,elementet e të cilave merren duke shumëzuar elementët e orizit Pornga numri λ. .

Shembulli 1.1.Gjeni punën e matricës A \u003d. Numri 5.

Vendim. . 5a \u003d.

Rregullimi i Rregullit të shumëzimit sipas numrit: Për të shumëfishuar matricën në numër, ju duhet të shumëzoni në këtë numër të gjitha elementet e matricës.

Pasojë.

1. Shumëzuesi i përgjithshëm i të gjitha elementeve të matricës mund të merret për shenjën e matricës.

2. Puna e matricës Pornga numri 0 ka një matricë zero: Por· 0 = 0 .

Shtimi i matricave

Përkufizimi 1.12.Shuma e dy matricave një dhe nëtë njëjtën madhësi t n.quajtur matricën Nga= Por+ NËelementet e të cilëve merren me shtimin e elementeve përkatëse të matricës Pordhe matricë NË, i.e. cij \u003d Aiij + BiJpër i \u003d.1, 2, ..., m.; j.= 1, 2, ..., n.(i.E., matricat janë adresuar në mënyrë alternative).

Pasojë.Shumën e matricës Porme një matricë zero është e barabartë me matricën origjinale: A + O \u003d A.

1.2.3. Zbritjen e matricave

Dallimi i dy matricavee njëjta madhësi përcaktohet përmes operacioneve para operacioneve: A - b \u003d a + (-1)NË.

Përkufizimi 1.13.Matrix -A \u003d (-1Pori quajtur e kundërtmatricë Por.

Pasojë.Shuma e matricave të kundërta është e barabartë me një matricë zero : A + (-A) \u003d O.

Shumëzimi i matricës

Përkufizimi 1.14.Shumëzimi i matricës A në matricën nëËshtë përcaktuar kur numri i kolonave të matricës së parë është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë. Pastaj puna e matricavekjo matricë quhet , Çdo element i së cilës cij.e barabartë me sasinë e veprave të elementeve i.- linjat e matricës Pornë elementet e duhura j.- në kolonën e matricës B.

Shembulli 1.4.Llogaritni punën e matricave A · in,ku

A \u003d.

=

Shembulli 1.5.Gjeni vepra nga Matrix Audhe Vaku

Komente.Nga shembujt 1.4-1.5 rrjedh se shumëzimi i matricave ka disa dallime nga shumëzimi i numrave:

1) Nëse puna e matricave Aunuk është, atëherë pas riorganizimit të faktorëve në vende punën e matricave V.mund të mos ekzistojnë. Në të vërtetë, në shembullin 1.4, ekziston produkti i matricave AB, dhe produkti i WA nuk ekziston;

2) nëse punon edhe Audhe V.ka, rezultati i punës mund të jetë matricat e madhësive të ndryshme. Në rastin kur të dyja funksionojnë Audhe V.ka të dyja të dyja matricat e të njëjtës madhësi (kjo është e mundur vetëm kur shumëfishojmë matricat katrore të një rendi), komutative (lëviz) ligji i shumëzimit ende nuk është kryer,ato. Një B. Në një, si në shembullin 1.5;

3) Megjithatë, nëse shumëzoni një matricë katrore Pornë një matricë të vetme E.e të njëjtit rend pastaj AE \u003d EA \u003d A.

Kështu, një matricë e vetme kur shumëzohen matricat luan të njëjtin rol si numri 1 me shumëzimin e numrave;

4) Produkti i dy matricave jo zero mund të jetë i barabartë me një matricë zero, i.e. nga fakti se Një B.\u003d 0, nuk e ndjek atë A \u003d.0 ose B \u003d.0.

Kjo manual metodologjik do t'ju ndihmojë të mësoni të kryeni veprimet me matricat: Shtim (zbritje) e matricave, transpozimin e matricës, shumëzimin e matricave, gjetjen e matricës së kundërt. Të gjitha materialet përcaktohen në një formë të thjeshtë dhe të aksesueshme, jepen shembuj të përshtatshëm, kështu që edhe një person i papërgatitur do të jetë në gjendje të mësojë të kryejë veprime me matricat. Për vetëkontroll dhe vetë-test ju mund të shkarkoni Calculator Matrix për Free \u003e\u003e\u003e.

Unë do të përpiqem të minimizoj llogaritjet teorike, në disa vende, shpjegime "në gishtat" dhe përdorimin e kushteve jo-shkencore. Dashamirët e një teorie të fortë, ju lutem mos kritikoni, detyra jonë është mësoni të kryeni veprime me matricat.

Për përgatitjen ultra të shpejtë në temën (i cili ka "djegie") ka një kurs intensiv PDF Matrix, përcaktues dhe qëndrim!

Matrica është një tabelë drejtkëndore e çdo elementet. Si elementet Ne do të shqyrtojmë numrat, domethënë, matricat numerike. Element - Ky është termi. Termi është i këshillueshëm për të kujtuar, shpesh do të takohet, nuk është rastësisht që kam përdorur një font yndyror për ta nxjerrë në pah atë.

Përcaktim: Matricat zakonisht tregojnë me shkronja latine të kapitalit

Shembull: Konsideroni "dy tre" Matrix:

Kjo matricë përbëhet nga gjashtë elementet:

Të gjitha numrat (elementet) brenda matricës ekzistojnë në vetvete, domethënë, asnjë zbritje e fjalës nuk shkon:

Është vetëm një tabelë (grup) numra!

Gjithashtu pajtohem mos e rregulloni Numra, përveç nëse përmendet ndryshe. Çdo numër ka vendndodhjen e vet, dhe ata nuk mund të tërhiqen!

Matrica në shqyrtim ka dy rreshta:

Dhe tre kolona:

Standard: Kur ata flasin për madhësitë e matricës, atëherë i pari Tregoni numrin e rreshtave, dhe vetëm atëherë - numrin e kolonave. Ne vetëm kemi disassembled kockat e matricës "dy tre".

Nëse numri i rreshtave dhe kolonave të matricës përkon, atëherë quhet matrica katror, p.sh: - Matrica "tre tre".

Nëse në matricën një kolonë ose një vijë, atëherë quhen edhe matricat e tilla vektorë.

Në fakt, koncepti i matricës, ne e dimë nga shkolla, e konsiderojmë, për shembull, një pikë me koordinatat "X" dhe "IGREK" :. Në thelb, koordinatat e pikës regjistrohen në matricën "një-dy". Nga rruga, këtu është shembulli, pse rendi i numrave është i rëndësishëm: dhe janë dy pika krejtësisht të ndryshme të avionit.

Tani shkoni direkt në studim veprimet me matrix:

1) veprimi i parë. Duke arritur minus nga matrica (duke bërë një minus në matricë).

Kthehu në matricën tonë . Siç e keni vënë re, ka shumë numra negativë në këtë matricë. Është shumë e pakëndshme në drejtim të kryerjes së veprimeve të ndryshme me matricën, është e papërshtatshme për të shkruar sa më shumë minuse, dhe vetëm duket e shëmtuar në dizajn.

Unë do të bëj minus përtej matricës, duke ndryshuar çdo element të shenjës së matricës:

Ulya, siç e kupton, shenja nuk ndryshon, zero - ai dhe në Afrikë zero.

Shembull i ushqimit: . Duket e shëmtuar.

Ne do të bëjmë një minus në matricë, duke ndryshuar matricën e secilit element:

Epo, doli shumë më shumë prettier. Dhe, më e rëndësishmja, kryejnë ndonjë veprim me matricën do të jetë më e lehtë. Sepse ka një shenjë të tillë folklorike matematikore: sa më shumë minuse - më shumë konfuzion dhe gabime.

2) Veprimi i dytë. Shumëzimi i matricës në numrin.

Shembull:

Çdo gjë është e thjeshtë për të shumëzuar matricën në numrin, keni nevojë të gjithë Element matricë shumëfishohet në një numër të caktuar. Në këtë rast, në tre të parat.

Një shembull tjetër i dobishëm:

- Shumëzimi i matricës për fraksionin

Së pari konsideroni se çfarë duhet të bëni MOS:

Ju nuk keni nevojë të hyni në matricën, së pari, ajo vetëm e bën të vështirë për veprim të mëtejshëm me matricën, së dyti, e bën të vështirë të kontrolloni vendimin nga mësuesi (veçanërisht nëse - Përgjigja përfundimtare përgjigje).

Dhe sidomos, MOS Ndani secilin element të matricës për minus shtatë:

Nga artikulli Matematikë për dummies ose duke filluar të fillojëNe kujtojmë se fraksionet dhjetore me një presje në matematikë më të lartë po përpiqen të shmangin çdo mënyrë.

E vetmja gjë që i dëshirueshëm Bëni në këtë shembull - për të bërë një minus në matricë:

Por nëse Çdo gjë Elementet e matricës u ndanë në 7 pa mbetjePastaj ju mund (dhe keni nevojë!) Do të ndahet.

Shembull:

Në këtë rast, ju mund dhe Nevojë për të Multiply të gjitha elementet e matricës, pasi të gjitha numrat e matricave janë të ndara në 2 pa mbetje.

Shënim: Në teorinë e matematikës më të lartë, koncepti i shkollës "Divizioni" nuk është. Në vend të frazës "kjo është e ndarë në të" gjithmonë mund të thuhet "shumohen me fraksion". Kjo është, ndarja është një rast i veçantë i shumëzimit.

3) Veprimi i tretë. Duke transpozuar matricën.

Në mënyrë që të transpozoni matricën, ju duhet të shkruani linjat e saj në kolonën e matricës së transpozuar.

Shembull:

Transportoni matricën

Linja këtu është vetëm një dhe, sipas rregullit, duhet të shkruhet në kolonën:

- Matrica e transpozuar.

Matrica e transpozuar zakonisht është shënuar me një indeks të papritur ose një prekje në krye.

Shembull hap pas hapi:

Transportoni matricën

Së pari, rishkruaj vargun e parë në kolonën e parë:

Pastaj rishkruaj vargun e dytë në kolonën e dytë:

Dhe së fundi, rishkruaj vargun e tretë në kolonën e tretë:

Gati. Përafërsisht duke folur, transpozon - kjo do të thotë të kthejë matricën e anës.

4) Veprimi i katërt. Shuma (ndryshimi) matricat.

Sasia e veprimit të matricave është e thjeshtë.
Jo të gjitha matricat mund të palosen. Për të kryer shtimin e matricave (zbritjes), është e nevojshme që ato të jenë të njëjta në madhësi.

Për shembull, nëse është dhënë "dy deri në dy" matricë, atëherë mund të paloset vetëm me matricën "dy dy" dhe asnjë tjetër!

Shembull:

Dele matricat dhe

Në mënyrë që të dalin matricat, është e nevojshme të futet elementet përkatëse.:

Për dallimin e matricave, rregulli është i ngjashëm Është e nevojshme për të gjetur dallimin midis elementeve përkatëse..

Shembull:

Gjeni matricën e ndryshimit ,

Dhe si për të zgjidhur këtë shembull është më e lehtë për të mos u hutuar? Është e këshillueshme që të heqësh qafe minuset shtesë, për këtë ne do të bëjmë një minus në matricën:

Shënim: Në teorinë e matematikës më të lartë, koncepti i shkollës "zbritja" nuk është. Në vend të frazës "për këtë, është gjithmonë e mundur të thuhet" për këtë shtoni një numër negativ ". Kjo është, zbritja është një rast i veçantë i shtesës.

5) Veprimi i pestë. Shumëzimi i matricës.

Çfarë matricash mund të shumëzohen?

Për të bërë matricën ju mund të shumëzoni në matricën që ju nevojitet, në mënyrë që numri i kolonave të matricës është i barabartë me numrin e vargjeve të matricës.

Shembull:
A është e mundur të shumohen matricën në matricën?

Pra, duke shumëfishuar të dhënat e matricës mund të jenë.

Por nëse matricat riorganizojnë në vende, atëherë, në këtë rast, shumëzimi nuk është më i mundur!

Prandaj, është e pamundur të kryhet shumëzim:

Jo aq rrallë, janë hasur detyrat kur studenti është propozuar për të shumëfishuar matricën, shumëfishimi i të cilit është padyshim e pamundur.

Duhet të theksohet se në disa raste ju mund të shumëzoni matricën dhe kështu, dhe kështu.
Për shembull, për matricat, dhe ndoshta shumëzim dhe shumëzim